Почему вы должны включать якобиан для каждой системы координат, кроме декартовой?

Потому что наш мир (локально) евклидов .

В евклидовом мире предпочтение отдается прямым линиям, и мы подсознательно определяем такие вещи, как расстояние, площадь и объем, используя прямые линии. Если реальный объект, который мы изучаем, не состоит из прямых линий, мы разрезаем его на маленькие кусочки, пока не получим приблизительно прямые линии, а затем суммируем эти маленькие кусочки, чтобы получить «настоящее» значение.

В евклидовом мире существует прямая корреляция между декартовыми координатами и длинами в реальном мире. Например, круг в декартовых координатах — это круг в реальном мире; но круг в реальном мире — это прямоугольник в полярных координатах.

Рассмотрим поверхность, ограниченную следующими кривыми в нашем мире:$y=a_0 /x$,$y=a_1 /x$,$y=b_0 x$,$y=b_1 x$

В мире, где их вертикальные линии соответствуют кривой, определяемой как$u=xy$у нас и горизонтальные линии соответствуют кривым$v=y/x$, эта сложная фигура становится просто квадратом со сторонами$a_1-a_0$и$b_1-b_0$и площадь$A=(a_1-a_0)(b_1-b_0) \, u.a$.

В нашем мире все не так просто, и область, ограниченная этими линиями, точно не такая. Теперь якобиан — это инструмент, который мы используем для преобразования значения измерения из одной системы координат в значение, которое было бы получено, если бы измерение было выполнено в декартовых координатах. Он представляет бесконечно малое отношение между длинами объекта при рисовании в одной системе к другой. Бесконечно малые длины всегда можно считать прямыми.

Важно уточнить, что декартовы координаты — не единственная «прямая» система координат. Можно рассматривать любую систему, образованную неортогональными прямыми линиями. Дело в том, что мы бы считали эти системы урезанными и тогда не обязательно естественными.

PS: Якобиан всегда рядом. Мы просто определяем$|J|=1$для декартовой системы координат, потому что результаты этой системы имеют прямое отношение к нашему миру. Некоторые инопланетные виды, живущие в мире с очень сильным гравитационным полем (например, рядом с черной дырой ;-), определили бы свои$|J|=1$к другой системе.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ:

С использованием

$$I_c= \int \int dx \, dy$$ Как двойной интеграл в декартовых координатах и $$I_p= \int \int dϱ \, dθ$$ В виде двойного интеграла в полярных координатах.

Из-за соответствия декартовых координат и «реального мира» можно было заметить, либо экспериментально, либо логически (используя такие методы, как квадратура круга и разрезание круга ), что$I_c$дает ту же номинальную стоимость, что и площадь, ограниченная предельными кривыми. Следовательно, можно определить площадь как

$$A= \int \int \, dA=\int \int dx \, dy$$ И элемент площади $$dA=dx \, dy$$ Однако, $I_p$дает другое значение (в данном случае периметр круга). С этого момента можно сделать 2 вещи;

1. Определите$│J│=1$в стартовой системе

С этим определением применение якобиана при переходе от исходной системы к следующей позволит вам получить то же числовое значение, но двойные интегралы будут иметь все виды значений, в зависимости от того, какое значение они имеют в исходной системе, что делает их как минимум неоднозначно.

2. Определите$│J│=1$в декартовой системе

При таком определении все системы будут иметь не только одно и то же числовое значение, но и все двойные интегралы приведут к площади поверхности, ограниченной кривыми.

То же самое для объемных интегралов.

Поскольку бесконечно малый элемент поверхности и бесконечно малый элемент объема в декартовых координатах равны$\:\mathrm{dS}=\mathrm dx\mathrm dy\:$и$\:\mathrm{dV}=\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\:$, в общем случае криволинейные координаты не$\:\mathrm{dS}=\mathrm du\mathrm dv\:$и$\:\mathrm{dV}=\mathrm du\mathrm dv\mathrm dw$. Якобианы – это «поправочные» коэффициенты. См., например, Рисунок 01.

Кроме того, всюду отличный от нуля якобиан является необходимым и достаточным условием обратимости преобразований координат.

Итак, если вы хотите найти двойной интеграл на рисунке 02:

$$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f\mathrm {dS} \tag{01} \end{equation}$$ то по декартовым координатам $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S} f \!\left(x,y\right)\mathrm dx\mathrm dy \tag{02} \end{equation}$$ так как в этих координатах $$\begin{equation} \mathrm {dS}=\mathrm dx\mathrm dy \tag{03} \end{equation}$$ Якобиан здесь не нужен.

Но если удобно использовать другие криволинейные в общем координаты$\left(u,v\right)$, то при преобразовании координат:

$$\begin{equation} x=x\left(u,v\right)\,, \quad y=y\left(u,v\right) \tag{04} \end{equation}$$ у нас есть $$\begin{equation} \mathrm {d S}=\:\underbrace{\left\vert \! \left(\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\mathrm d u\right)\!\! \boldsymbol{\times}\!\!\left( \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\mathrm d v \right)\!\right\vert}_{\textbf{algebraic magnitude}} \!=\underbrace{\left\vert \dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\boldsymbol{\times}\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\right\vert}_{\textbf{algeb. magn.}}\,\mathrm d u\,\mathrm dv = \underbrace{ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u}\\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}}_{\textbf{Jacobian}} \mathrm du\,\mathrm dv=\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\,\mathrm dv \tag{05} \end{equation}$$ Также у нас есть $$\begin{equation} g \left(u,v \right)=f\left[x\left(u,v\right),y\left(u,v\right)\right] \tag{06} \end{equation}$$ Подставляя выражения (05) и (06) в (01), имеем $$\begin{equation} A=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\dfrac{\partial \left(x,y\right)}{\partial \left(u,v\right)}\mathrm du\mathrm dv=\iint\limits_{\mathrm S}g\left(u,v\right)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial v}\right)\mathrm du\mathrm dv \tag{07} \end{equation}$$ Нам нужен якобиан здесь.

Рисунок 02 (3D-версия)

Якобиан является кратным интегральным аналогом метода u-подстановки. Например, если вы хотите сделать замену$x = 2u$в интеграле вы эффективно вводите изменение координат от$x$к$u$и вы должны положить$dx = 2 \space du$вместо$dx$. Аналогично для многомерного случая вы делаете замену.

$$dxdy= |J(x(u,v),y(u,v))| dudv$$

Без замены переменных нет необходимости. Вы можете использовать якобиан, если хотите, считая себя производящим замену

$$x(x,y) = x,\space y(x,y)=y$$ но якобиан будет просто единичной матрицей, которая

имеет определитель$1$давая вам$dxdy=dxdy$

Аналогично, в случае одной переменной замена$x=x$дает$dx=dx$

Если бы ваш интеграл изначально был, скажем, в полярных координатах, вам пришлось бы использовать якобиан для обратного преобразования в евклидовы. Евклидовы координаты не проходят, просто обычно вы переключаетесь с евклидовых координат на сферические/полярные и т. д., а не наоборот.

Исходный вопрос: «Почему вы должны включать якобиан для каждой системы координат, кроме декартовой?»

Возможно, вам следует уточнить, почему │J│=1 для декартовых координат, и остальная часть вашего ответа будет верна.

Почему кто-то не пишет$1 x = 2$и вместо$x = 2$? Это тот же вопрос.

Большинство людей определяют размер прямоугольного объекта в$\Bbb{R}^n$в декартовом смысле как произведение$\Bbb{R}^1$степени. В том случае преобразования декартова исходного n-мерного пространства в декартово$\Bbb{R}^n$является единичной матрицей, которая является матричным эквивалентом$1$для преобразования координат. Но зачем ставить 1 в формулах?

$$\int _{\varphi _1}^{\varphi _2}\int _{\theta _1}^{\theta _2}\int _{\tau _1}^{\tau _2}f((\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right))^\mathsf{T})d\tau d\theta d\varphi$$ где$f$является вещественной функцией трехмерного вектора-строки. Но, как и не писать$1$в уравнении алгебры, почему бы просто не использовать$f(\left( \begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right))$? Все, что делает матричное умножение, — это перемаркировка$\left(\begin{array}{ccc} \tau & \theta & \varphi \\ \end{array} \right)$как$\left(\begin{array}{ccc} x & y & z \\ \end{array}\right)$.