Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

В базовой лагранжевой механике (из тех, что изучаются на втором курсе классической механики) нет, это не так. Причина в том, что в базовой лагранжевой теории время играет особую роль: это единственный независимый параметр, от которого все остальное выражается как функция. Это связано с тем, что действие является интегралом от лагранжиана по времени , а не по пространству, а это, в свою очередь, означает, что «классическая» версия теоремы Нётер работает только для сохранения во времени.

Однако при обобщении на теорию поля ситуация меняется: в теории поля и временные, и пространственные координаты считаются независимыми параметрами, так что все остальное выражается как функция времени и пространства. В частности, вместо классического лагранжиана у вас есть плотность лагранжиана$\mathcal{L}$, что позволяет выразить действие в виде пространственно-временного интеграла,

$$S = \int \mathcal{L}\mathrm{d}^4x$$

Таким образом, версия теоремы Нётер для теории поля не придает времени никакого особого статуса. Вместо временных законов сохранения ($\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$), это дает вам законы сохранения пространства-времени в форме

$$\frac{\partial j^\mu}{\partial x^\mu} = 0$$

Вы можете превратить это во временной закон сохранения, интегрируя текущий$j^\mu$над пространственноподобным объемом (т.е. всем пространством в один момент времени):

$$Q = \int_{t=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = 0$$

но с таким же успехом вы можете превратить его в пространственный закон сохранения, проинтегрировав по пространственно-временному объему:

$$Q = \int_{x=\text{const}} g_{\mu\nu} j^\mu\mathrm{d}x^\nu\quad\to\quad\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = 0$$

Таким образом, да, можно создать закон пространственного сохранения, используя теорему Нётер.

Да, в теоретико-полевых условиях. Рассмотрим$3+1$мерное плоское пространство-время для простоты. Теорема Нётер приводит к закону сохранения вида

$$d_{\mu} J^{\mu}(x)=0,$$

т.е. ток Нётер$J^{\mu}(x)$является бездивергентным четырехтоком. [Мы используем символ$d_{\mu}$(скорее, чем$\partial_{\mu}$), чтобы подчеркнуть тот факт, что производная$d_{\mu}$является полной производной, которая включает как неявное дифференцирование через переменные поля$\phi^{\alpha}(x)$, и явное дифференцирование относительно.$x^{\mu}$.]

Скажем, мы хотим рассмотреть количество$Q$то есть независимость от$x^1$-координата. Определить так называемый «заряд»$Q=Q(x^1)$путем интеграции$J^1(x)$над$2+1$размерная плоскость с фиксированным$x^1$-координат$x^1$. Тогда легко показать с помощью$2+1$теорема о размерной дивергенции , что

$$d_{1} Q(x^1)=0$$

путем наложения соответствующих граничных условий.

Вышеупомянутая конструкция может быть широко обобщена на геометрически ковариантную структуру, где предпочтительное направление задается неисчезающим векторным полем, которое может быть подобным времени, пространству, свету или некоторой комбинации.