Потенциалы в интеграле Фейнмана по путям

Я пытаюсь понять интеграл по траекториям Фейнмана, читая книгу Леона Тахтаджана.

В одном из примеров есть полное объяснение расчета пропагатора

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}(\mathbf{q'}-\mathbf{q})-\frac{\mathbf{p}^2}{2m}T)} d^n\mathbf{p},\quad T=t'-t.$$

в случае свободной квантовой частицы с оператором Гамильтона

$$H_0 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m},$$

и решение дается

$$K(\mathbf{q'},t';\mathbf{q},t) = \left(\frac{m}{2\pi i \hbar T}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\frac{im}{2\hbar T}(\mathbf{q}-\mathbf{q'})^2}.$$

Не могли бы вы помочь мне понять, как выполнить расчет в случае, когда гамильтониан задается выражением

$$H_1 = \frac{\mathbf{P}^2}{2m} + V(\mathbf{Q})$$

где$V(\mathbf{Q})$это потенциал, определяемый

$$V(\mathbf{Q})=\left\{ \begin{array}{cc} \infty, & \mathbf{Q} \leq b \\ 0, & \mathbf{Q}>b. \\ \end{array} \right.$$

Обновлять :

Я прочитал статью, предоставленную Trimok, и еще одну, найденную в ссылках, но меня все еще раздражает способ вычисления распространителя. Я могу ошибаться, но кажется, что в такого рода статьях они всегда начинают вычисления с нуля, не используя то, что они уже знают об интеграле по путям.

На самом деле я пытаюсь написать что-нибудь об использовании интегралов по путям в оценке опционов. Из книги Тахтаджана я знаю, что для общего гамильтониана$H=H_0 + V(q)$где$H_0 = \frac{P^2}{2m}$, интеграл по путям в конфигурационном пространстве (или, точнее, пропагатор) определяется выражением

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \underset{\mathbb{R}^{n-1}}{\int \cdots\int} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\left(\frac{q_{k+1} - q_k}{\Delta t}\right)^2 - V(q_k)\right)\Delta t\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Я хотел бы начать свои вычисления с этого результата и не повторять лишний раз процедуру квантования времени. Так что из-за особой формы потенциала я думаю, что могу переписать предыдущее уравнение как $$\begin{equation} \begin{array}{c} \displaystyle K(q',t';q,t) = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi\hbar i \Delta t}\right)^{\frac{n}{2}} \\ \displaystyle \times \int_0^{+\infty} \cdots\int_0^{+\infty} \exp\left\{\frac{i}{\hbar}\frac{m}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(q_{k+1} - q_k)^2}{\Delta t}\right\} \prod_{k=1}^{n-1} dq_k.\\ \end{array} \end{equation}$$ Тогда мне нужен трюк, чтобы вернуться к полным интегралам по $\mathbb{R}$и использовать то, что я уже знаю о бесплатном распространителе частиц. Однако, поскольку интегралы связаны, я не могу найти правильный способ завершить вычисление и найти результат, предоставленный Trimok.

Не могли бы вы сказать мне, прав я или нет? Спасибо.