Правилен ли этот дизайн на основе 7805?

Схема неправильная.

7805 можно использовать в регулируемом режиме в соответствии с предоставленной вами схемой - с использованием R1 и R2, НО это не очень хороший регулятор для использования таким образом, поскольку он потребляет значительный и переменный ток через свой штырь adj (обычно заземление), что приводит к плохое регулирование. Использование LM317 таким образом намного лучше - он предназначен для такого использования.

Напряжение постоянного тока будет ~= пиковое напряжение = 1,414 x VRMS_AC.
(1,414 = квадрат (2))

Таким образом, 12 В переменного тока x 1,414 = ~
17 В 17 - 2 * x 0,7 = 15,3 вольт.
7805 или LM317 могут иметь внутреннее падение более 2 вольт, оставляя на выходе от 12,5 до 13 вольт.

Если возможно, используйте LM317 — даташит здесь .
Рис. 5 в техническом описании такой же, как и выше, но опорное напряжение составляет 1,25 В.

Чтобы защититься от проблемы с обратной полярностью, о которой вы упомянули, подключите диод от выхода к входу (обычно непроводящий). Если Vo > Vin, то диод будет проводить и защищать регулятор.

Сначала немного шокирующих новостей: LM7805 от TI (урожденная National Semiconductor) устарел! Верно, стандартный линейный регулятор со времен многих лун.

Есть некоторые проблемы с дизайном.

1. Земля подключена к вашей сети! Возможно смертельно, но вы можете выжить

2. Переменный резистор для регулирования выходного напряжения. Не! Ток заземления может изменяться на 1 мА, что вызовет изменение выходного напряжения на 1 В для 1 кОм.$\Omega$установка резистора.

3. Как вы заметили, вы не можете пройти весь путь до 15 В, хотя ваш расчет содержит ошибку: вы не начинаете с 12 В после выпрямителя. Выпрямление и сглаживание дадут вам 12В$\times$ $\sqrt{2}$= 17В. Вы правы насчет падения напряжения, хотя я бы рассчитал по 1 В на диод. И тогда есть 10% изменение сетевого напряжения. Так$V_{IN}$для LM7805 это, в худшем случае, 12В$\times$ $\sqrt{2}$ $\times$90% - (2$\times$1В) = 13,3В, а в даташите написано, что нужно на 2,5В выше выходного напряжения. Это означает, что ваш регулятор не будет подниматься выше 10,8 В. Вам также придется учитывать пульсации на сглаживающем конденсаторе. Здесь вы можете рассчитать пульсации как функцию входного напряжения, емкости и нагрузки.

Теперь, поскольку LM7805 от TI устарел (*), вам все равно придется использовать другой регулятор, и, поскольку LM317 сделан для переменного выхода, я бы взял его (пока он не устарел). Вы сможете регулировать от 1,2 В и иметь 1,5 А вместо 1 А. В таблице данных для LM7805 LM317 рекомендуется в качестве альтернативы с переменным выходом. Для LM317 потребуется разница в 3 В между входом и выходом, поэтому для выходного напряжения до 15 В вам понадобится трансформатор на 18 В.

1N4003 для выпрямителя - это излишество. Он выдерживает обратное напряжение 200В, а 50В 1N4001 вполне подойдет.
Как говорит Рассел, вы можете защитить выход от перенапряжения, поместив силовой диод между выходом и входом, катодом к входу.

(*) Хорошо, 7805 на самом деле не умер. Поскольку TI приобрела NatSemi, у них есть несколько дубликатов в их предложении, как указывает ThePhoton, поэтому либо LM7805, либо UA7805 должны были уйти.