Правильное упорядочение наборов количественных чисел

Предложение Для каждого кардинального числа м существует определенное следующее большее кардинальное число.

Это утверждение доказывается на странице 136 «Доказательств из книги» с использованием того факта, что любой набор порядковых чисел хорошо упорядочен. Однако последний факт представлен без доказательства.

Рассуждение кажется мне несколько странным, потому что кажется, что мы доказываем упорядоченность любого множества количественных чисел с помощью того же свойства для множеств порядковых чисел. (И у меня есть ощущение, что доказательство для ординалов должно быть даже сложнее, чем для кардиналов, но я должен ошибаться!)

У меня нет никакого опыта в теории множеств или логике, но я надеялся, что кто-нибудь может либо направить меня к «нетехническому» справочнику, либо, возможно, поделиться некоторыми соображениями по этому поводу. Спасибо!

Порядковые числа упорядочены по определению. Реальным содержанием здесь является утверждение, что вы можете представить все мощности, используя порядковые номера.
@EricWofsey Честно говоря, это зависит от того, какое определение вы используете. Если «порядковый» означает «наследственно транзитивное множество», то это определенно не просто по определению.

Ответы (1)

Я бы порекомендовал вам одну из двух книг для изучения основ теории множеств.

Доказательства и основы Итана Д. Блоха
Топология Джеймса Б. Манкреса

В этом контексте натуральные числа 0 , 1 , 2 , … . В любом случае, ваш 2-й абзац очень предположен и не информативен: ОП ничего не сказал о ю (натуральные числа); утверждение верно для любого кардинала. Обычное доказательство использует число Хартогса кардинального числа и не использует выбор.
Спасибо за рекомендации по книгам, Уильям. Просто хотел подчеркнуть, что мой вопрос не о написании доказательств в математике, а о чем-то совершенно конкретном, касающемся порядковых и количественных чисел. (Я просмотрел первую книгу, и она вообще не охватывает порядковые номера!)
Основой написания доказательств в математике является глубокое понимание теории множеств. Книга называется «Доказательства и основы», но в ней изложены основы теории множеств. Манкрес — более продвинутый метод лечения. Я бы посоветовал вам прочитать эти две книги, чтобы получить прочную основу для того, как манипулировать функциями, множествами и отношениями. Тогда вы сможете сами написать хорошее доказательство.
Правильное упорядочение наборов количественных чисел
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v