Преобразование Фурье формы сигнала с периодом и периодом: как природа понимает, что имеет место?

Сегодня я рассмотрел теорию, лежащую в основе преобразования Фурье, и задал себе вопрос, на который не смог ответить в процессе.

Теория: Периодический сигнал имеет ряд Фурье , который можно рассматривать как выборку соответствующего апериодического сигнала (т. е. ряд прямоугольной волны представляет собой выборку преобразования одного прямоугольника). Итак, прямоугольник и прямоугольная волна имеют разные гармонические составляющие.

А теперь мой вопрос (прямоугольная волна - это просто пример, вопрос применим к любой апериодической функции): цифровой драйвер (если хотите, тактовый генератор) возбуждает прямоугольную волну с частотой f . Он начинается с одного «прямоугольника», его спектр соответствует преобразованию Фурье прямоугольника? Затем он продолжается множеством других - бесконечных - прямоугольников, и вы можете сказать, что это действительно периодическая форма волны (или, по крайней мере, так было до этого момента), является ли ее спектр прямоугольным?

Конечно, если я посмотрю сигнал с помощью анализатора спектра, то увижу нечетные гармоники, характерные для прямоугольной волны... И абсурдно говорить, что меняется спектр сигнала (сначала прямоугольный, а потом прямоугольный). прямоугольная волна). Так что же там происходит на самом деле?

Надеюсь, вы видите несоответствие, на которое я пытаюсь указать, и я бы сказал, что это не бесполезное размышление, поскольку спектр сигнала говорит о том, как сигнал будет распространяться в среде.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Из комментариев кажется, что вопрос был недостаточно ясен, позвольте мне добавить следующее:

«Вы спрашиваете, почему вы не наблюдаете, как спектр изменяется в вашем анализаторе между 1-й прямоугольной волной и каждой последующей прямоугольной волной по мере ее прохождения?» --> Мой вопрос в том, действительно ли это изменение происходит и как оно может иметь смысл. Если бы это было на самом деле, то понятно, почему анализатор спектра этого бы не показал.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 : уточнить значение прямоугольника и прямоугольной волны

Кроме того, когда я говорю о «прямоугольнике» или «одиночном прямоугольнике», я имею в виду, в основном, один период прямоугольной волны. Чтобы быть более точным, достаточно нарастающего фронта, высокого уровня и затем спадающего фронта. Называть его «квадратом» мне не нравилось. Итак, я вижу «прямоугольную волну» как серию «прямоугольников».

Время – прекрасный целитель людей и преображает.
Анализатору спектра необходимо измерять сигнал в течение определенного периода времени, прежде чем сигнал отобразится должным образом. Существует компромисс между временем измерения и точностью. Это то, чего тебе не хватает?
Вы спрашиваете, совпадает ли спектр одиночной прямоугольной волны со спектром бесконечно длинной цепочки прямоугольных волн? Или вы спрашиваете, почему вы не наблюдаете изменения спектра в вашем анализаторе между 1-й прямоугольной волной и каждой последующей прямоугольной волной по мере ее прохождения? Или вы спрашиваете, каков спектр сигнала, состоящего из прямоугольника, за которым следует квадратный импульс?
«Или вы спрашиваете, почему вы не наблюдаете, как спектр изменяется в вашем анализаторе между 1-й прямоугольной волной и каждой последующей прямоугольной волной по мере ее прохождения?» --> Мой вопрос, если это изменение действительно происходит. Если бы это было на самом деле, то понятно, почему анализатор спектра этого бы не показал.
Почему это понятно, если это то, почему анализатор не покажет это, если это то, что происходит на самом деле? Разве не наоборот? В любом случае, я бы ожидал, что он не покажет это, поскольку анализатор только проверяет взгляды на окна во времени, если только вы не можете «однократно» анализатор спектра или записать все это и воспроизвести очень медленно. Я никогда раньше не имел дело с анализатором спектра, поэтому не знаю.
Я нахожу использование квадрата и прямоугольника очень запутанным: «Цифровой драйвер [...] возбуждает прямоугольную волну с частотой f. Он начинается с одного «прямоугольника», его спектр соответствует преобразованию Фурье прямоугольника? Тогда он продолжается со многими другими - бесконечными - прямоугольниками , и вы можете сказать, что это действительно периодическая форма волны». Хотя прямоугольник может быть квадратом, не могли бы вы различить или объяснить?
@Huisman Хороший вопрос. Я попытался уточнить это в своем вопросе. Но в основном я говорил о «прямоугольнике» как об одном прямоугольнике, являющемся частью прямоугольной волны.
@Elia восходящий фронт, высокий, а затем спадающий фронт: эта часть составляет половину периода прямоугольной волны
@Huisman Я знаю, поэтому я сказал «точнее». Кстати, наличие половины или полного периода прямоугольной волны не меняет ее преобразования Фурье (при условии, что вы начинаете с нарастающего фронта, поэтому вы не берете два импульса).

Ответы (3)

Преобразование Фурье является линейным преобразованием. Это означает, что преобразование длинной серии импульсов идентично добавлению полного комплексного преобразования каждого отдельного импульса. Если вы попробуете это сделать, тщательно соблюдая временной сдвиг каждого импульса и различные результаты фазы FT, которые это подразумевает, вы увидите кое-что интересное. Что происходит, так это то, что спектры на гармонических частотах будут усиливаться (из-за того, что фаза на этой частоте всех отдельных FT одинакова), а все остальные частоты начнут деструктивно интерферировать (из-за несовпадения фазы каждого импульса). FT от всех остальных), и, таким образом, будет стремиться к нулю.

Это связано с тем, что все фазы любой частоты будут выстраиваться только при добавлении импульсов, разнесенных на одинаковую величину, равную точному целому кратному периоду. например периодический. Фазы всех остальных частот будут «зашифрованы». И чем больше вы сложите их вместе, тем больше перемешается. В конечном итоге сумма приближается к нулю (относительно пиков).

Вот как происходит изменение, путем конструктивной и деструктивной интерференции спектров Фурье по мере добавления импульсов, постепенно превращая одиночные Синк-подобные спектры в нечто, приближающееся к спектрам длинного периодического сигнала, представляющего собой гребенку гармоник.

Обратите внимание, что для этого добавления вам потребуется полное комплексное преобразование (включая фазу), а не только спектр амплитуды. Для этого используется длинное окно БПФ анализатора спектра.

Добавлено: вы не можете увидеть изменение, потому что анализатор спектра уже суммировал несколько импульсов, прежде чем что-либо отображать. (длинное окно БПФ)

Очень очень интересное объяснение! Я никогда не думал об этом таким образом. Было бы интересно увидеть анимацию того, как меняется спектр, когда вы добавляете больше импульсов. Подобно тому, как вы часто видите «Феномен Гиббса», когда вместо этого вы добавляете больше гармоник. Вы когда-нибудь видели что-то подобное, или я должен сделать это сам?

Он начинается с одного «прямоугольника», его спектр соответствует преобразованию Фурье прямоугольника?

Да, тавтологически так.

Затем он продолжается множеством других - бесконечных - прямоугольников, и вы можете сказать, что это действительно периодическая форма волны (или, по крайней мере, так было до этого момента), является ли ее спектр прямоугольным?

Бесконечно длинный сигнал не имеет преобразования Фурье, поскольку интеграл не конечен. В действительности, если вы можете измерить сигнал, он на самом деле не является периодическим, учитывая вашу конечную продолжительность жизни, и поэтому вы получаете преобразование Фурье измеренного вами апериодического сигнала.

БПФ — это просто корреляция; более длительные временные интервалы обеспечивают более высокое разрешение; большее количество повторений позволяет получить более высокое разрешение, как объяснил другой ответ.

Преобразование Фурье формы сигнала с периодом и периодом: как природа понимает, что имеет место?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v