Применим ли закон Снелла после того, как произошло полное внутреннее отражение?

Сначала вычислим критический угол. Как вы заметили, при$\theta_1=\theta_c$,$\sin\theta_2=1$, и поэтому$\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$. Очевидно, что для существования критического угла необходимо, чтобы$n_1>n_2$, так что$n_2/n_1<1$.

Теперь из закона Снелла мы знаем, что

$$\begin{align} \sin\theta_1=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\end{align}$$ Как $\theta_1$увеличивается до $\theta_c$, $\sin\theta_2$идет к $90$степени, как вы заметили:

$$\begin{align} \sin \theta_c =\frac{n_2}{n_1}=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=1 \end{align}$$

Для$\theta_1>\theta_c$, мы находим, что

$$\begin{align} \sin \theta_1 \equiv C = \frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=\frac{C}{n_2/n_1} \end{align}$$

где$C$некоторое число больше, чем$(n_2/n_1)$но меньше 1, что означает, что$\frac{C}{n_2/n_1}>1$. Таким образом, вы правы; Закон Снелла не может найти угол преломления для угла падения больше, чем$\theta_c$. Вместо этого система в этом пределе подчиняется закону отражения. Подробнее о законе Снелла и полном внутреннем отражении см. здесь.

Закон Снеллиуса получается путем применения к задаче электромагнитных граничных условий; поэтому оно выполняется при всех обстоятельствах, когда выполняются уравнения Максвелла.

Чтобы увидеть, что происходит при углах падения больше критического, выведем закон Снеллиуса. Электромагнитные граничные условия принимают следующий вид как для TE, так и для TM поляризаций падающей волны:

$$A_ie^{j\mathbf{k_+ \cdot r}} + A_re^{j\mathbf{k_- \cdot r}} = A_te^{j\mathbf{k'\cdot r}}$$

Закон Снелла выводится с учетом экспоненциальной части для$z=0$:

$$k_x=k_x' \rightarrow k\sin \theta = k'\sin \theta' \rightarrow \boxed{n\sin \theta =n'\sin \theta'}$$

Теперь мы получаем волновые векторы в$z$направление,$k_z$и$k_z'$:

$$k_z^2+k_x^2=k^2=n^2 k_0^2$$

$$k_z'^2+k_x'^2=k'^2=n'^2 k_0^2$$

Используя закон Снеллиуса ($k_x' = k_x$, так$k_x' = k \sin \theta = n k_0 \sin \theta$) находим из второго уравнения:

$$k_z'^2 = k_0^2 \left( n'^2 - n^2 \sin^2 \theta \right) \Rightarrow k_z' = k_0\sqrt{n'^2-n^2\sin^2 \theta}$$

Используя это уравнение, мы можем увидеть, что происходит при углах падения больше критического угла. Если$n'<n\sin \theta$волновой вектор в$z$направление станет воображаемым.$k_z' = j \alpha$, с

$$\alpha = k_0 \sqrt{n^2\sin^2 \theta - n'^2}$$

и волновая функция в правой среде будет

$$()e^{- \alpha z + j k_x' x}$$

Следовательно, волна во второй среде существует даже при$\theta >\theta_0$, но он экспоненциально затухает с$z$и не несет никакой энергии в$z$направление ( затухающая волна).