Производная метрического тензора

Я хотел бы задать вам вопрос, может быть, простой, но беспокоящий меня.

У нас есть произведение двух четырехпозиционных векторов в криволинейных координатах, заданное выражением

$(1) \quad X^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} = \tau^2$

и взяв производную по собственному времени, я ожидал получить

$(2) \quad 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} = 2\tau$

Но если бы мы разложили его на частные производные и производные по собственному времени отдельных векторов, это было бы:

$(3) \quad \frac{dX^{\alpha}}{d\tau}g_{\alpha \beta}X^{\beta} + X^{\alpha}g_{\alpha \beta}\frac{dX^{\beta}}{d\tau} + X^{\alpha}X^{\beta}\frac{dg_{\alpha \beta}}{d\tau} = 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} +X^{\alpha}X^{\beta}\frac{dg_{\alpha \beta}}{d\tau} \neq 2\tau$

$(4) \quad U^{\gamma} \nabla_{\gamma} X^{\alpha}X^{\beta}g_{\alpha \beta}= U^{\gamma} g_{\gamma}\,^{ \alpha} X^{\beta}g_{\alpha \beta} + U^{\gamma} g_{\gamma}\,^{\beta} X^{\alpha}g_{\alpha \beta} + X^{\alpha}X^{\beta} U^{\gamma} \nabla_{\gamma} \, g_{\alpha \beta} = 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} +X^{\alpha}X^{\beta}U^{\gamma} \,[??] \neq 2\tau$

Меня смущает вот что:

А)$Eq (2) \neq Eq (3) \neq Eq (3)$

Б) Если уравнение (2) верно, то почему? Потому что метрический тензор может меняться со временем, как я полагаю.

С) Что это такое$[??]=\nabla_{\gamma} \, g_{\alpha \beta}$в уравнении (4)? - Насколько я знаю, метрический тензор должен быть инвариантным относительно ковариантного четырехградиентного, и поэтому я понятия не имею, каков результат такой производной.

Я был бы признателен, если бы вы нашли время, чтобы ответить.

Я полагаю, для вас это будет минута, но я очень сомневаюсь в приведенных выше формулах.