Пропорциональна ли ЭДС индукции квадрату числа витков соленоида?

Чтобы этот вопрос был ясен, я должен сначала дать некоторый контекст:

Рассмотрим соленоид длиной 10 см (соленоид А) и радиусом примерно 1 см с 400 витками.

Пусть ток в$A$,$I_A$, меняются со временем медленно,$I_A = I_0(t)$так что вы можете игнорировать ток смещения.

i) Чему равен мгновенный магнитный поток в соленоиде?

---

Мгновенный магнитный поток в соленоиде определяется выражением$\Phi =BS$.

Магнитное поле$B$можно найти из закона Ампера (без учета тока смещения):

$$\oint \vec B \cdot d\vec \ell=\mu_0I_{\ell}=\mu_0NI_0(t)\tag{1}$$ где$I_{\ell}=NI_0(t)$это полный ток из-за$N$крутит каждый током$I_0(t)$

Площадь$S=\pi \times 10^{-4}$м${^2}$

С использованием$(1)$,$B\,L=\mu_0 N\,I_0(t)$; магнитное поле$B=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)$где$L$это длина соленоида . поток$\Phi$таким образом

$$\Phi =BS=\mu_0 \frac{N}{L}I_0(t)S=4\pi \times 10^{-7}\times 4\times 10^3 \times \pi \times 10^{-4}I_0(t)=16\pi^2\times 10^{-8}I_0(t)$$ $$\approx 1.5 \times 10^{-6}I_0(t)$$ что является правильным ответом.

---

(ii) К соленоиду подключен вольтметр. Счетчик будет измерять$\oint \vec E \cdot d \vec \ell$интегрируется вдоль провода. Получите выражение для измеренного напряжения (без учета сопротивления).

По закону Фарадея индуцированное напряжение на единицу длины равно

$$\oint \vec E \cdot d \vec \ell= \frac{d\Phi}{dt}=-\mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\approx -1.5 \times 10^{-6}\frac{d I_0(t)}{dt}\tag{2}$$ Таким образом, общее напряжение равно $$V=0.1\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx -1.5 \times 10^{-7}\frac{d I_0(t)}{dt}$$

Это неправильный ответ, и правильный ответ в основном

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{V=400\oint \vec E \cdot d \vec \ell\approx 6 \times 10^{-4}\frac{d I_0(t)}{dt}}$$

---

С точки зрения измерений, насколько я понял, левая сторона закона Фарадея,$(2)$дает единицу циркуляции электрического поля, или,$\unicode{x222F}(\nabla \times \vec E)\cdot d \vec S$(по теореме Стокса).

Но найти напряжение$V$ поперек соленоида мы должны проинтегрировать по его длине так, чтобы единицы давали

$\bbox[yellow, 5px] {\text{number of turns}\times \text{rate of change of flux} \propto N \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}\times L}$

Но в поле, отмеченном красным, автор просто умножает на количество витков.$N$, что означает, что размерная правая сторона закона Фарадея равна

$\bbox[#F85, 5px]{\text{number of turns}^2\times \text{rate of change of flux} \propto N^2 \times \frac{d\Phi}{dt}\propto \mu_0 \frac{N^2}{L}S\frac{d I_0(t)}{dt}}$

Таким образом, у нас больше нет единичного обращения, но больше беспокоит то, что единицы идут как квадрат числа оборотов. Это действительно правильно?

Я проверил закон индукции Фарадея, так что я знаю, что

$$\mathcal{E} = -N\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\ne -N^2\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$$ Ясно, что я упускаю суть, поэтому, если бы кто-нибудь мог объяснить мне это, это было бы здорово.