Путаница с теоремой Нётер

На моем уроке теории поля мы недавно вывели теорему Нётер: мы рассматриваем бесконечно малое преобразование$\phi \to \phi + \epsilon \,\delta\phi$нашего поля, которое сохраняет действие, т.е.$\delta S = 0$. Это последнее условие предположительно эквивалентно$\delta \mathcal{L}$являющийся расхождением, т.е.$\delta \mathcal{L} = \epsilon\,\partial_\mu I^\mu$. Затем вы можете расширить

$$\begin{align} \delta \mathcal{L} &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \epsilon \, \delta \phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \epsilon \partial_\mu(\delta\phi) \\ &= \left( - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\right) \epsilon \, \delta \phi + \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi\right) \epsilon \end{align}$$

Первый член обращается в нуль в уравнениях. движения, и поэтому мы получаем

$$\partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu\right) = 0$$ то есть$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta\phi - I^\mu$является сохраняющимся током.

Меня здесь смущают две вещи:

Мы не использовали то, что преобразование должно быть симметрией системы (т.е.$\delta S = 0$). В случае точки-частицы (это поле, которое зависит только от времени) мы можем иметь$L = T - V$с$\partial V / \partial q \neq 0$, но мы можем посмотреть на перевод$q \to q + \epsilon$что дает нам

$$L \to L + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left( - t \frac{\partial V}{\partial q} \right)$$ так$L$изменяется только до «дивергенции», и результирующая сохраняющаяся величина равна$p + t \frac{\partial V}{\partial q}$, что действительно сохраняется, хотя наша система не была пространственно-однородной.

Другим источником путаницы (который, я думаю, связан с первым) является аргумент о том, что$\delta S = 0$эквивалентно$\delta \mathcal{L} = \epsilon \partial_\mu I^\mu$. В$\mathbb{R}^n$, каждая скалярная функция может быть записана как дивергенция, так что, похоже, это не сходится. Является$I^\mu$может быть, предполагается, что это функция только полей?