Расчет сопутствующих объемов

Это зависит от того, насколько точным вы хотите получить ответ.

Причина в том, что угол$\theta$натянутый на длину$L = 1\,\mathrm{Mpc}$зависит от расстояния$d$такой длины — в сопутствующих координатах,$\theta$продолжает уменьшаться с$d$, как и обычный предмет, скажем, велосипед, чем дальше он находится, тем меньше он выглядит (любопытно, что в физических координатах это не так. Из-за конечной скорости света и расширения Вселенной галактики кажутся меньше только снаружи определенное расстояние, после чего они начинают казаться больше).

Ан$(L = 1\,\mathrm{Mpc})^2$квадратные пролеты$\theta_2 = 39''$при красном смещении$z=2$, и$\theta_3 = 32''$в$z=3$. Сопутствующие расстояния$d_2 = 5.3\,\mathrm{Gpc}$и$d_3 = 6.5\,\mathrm{Gpc}$, соответственно.

Так что да, примерно можно сказать, что сопутствующий объем$A = 1\,\mathrm{Mpc}^2$квадрат между$z=2$и$z=3$является$V = A(d_3-d_2)$. Но читайте дальше.

Расчет

Вы упомянули опрос, поэтому я предполагаю, что на самом деле вам дана не площадь, а поле зрения (FOV). Проблема та же, только по-другому; ваш FOV не покрывает одну и ту же область при разных красных смещениях.

Итак, вот строгий способ расчета:

Допустим, ваш FOV охватывает телесный угол.$\Omega=\theta_\mathrm{RA}\times\theta_\mathrm{dec}$, измеряемый в радианах, включает дробь$\Omega/4\pi$всей сферы. Общий сопутствующий объем на сопутствующее расстояние$d$просто$V = 4\pi d^3/3$, поэтому объем оболочки между$z=2$и$z=3$является

$$V_\mathrm{2\rightarrow3} = V_3 - V_2 = \frac{4\pi}{3} \big(d_3^3 - d_2^3\big).$$

Таким образом, сопутствующий объем, охватываемый вашим FOV, равен

$$V = \frac{\Omega}{4\pi} V_\mathrm{2\rightarrow3},$$ или $$V = \frac{\Omega}{3} \big(d_3^3 - d_2^3\big).$$

Ошибка

Разница между двумя подходами увеличивается с разницей между двумя красными смещениями. С FOV, скажем,$\Omega = (\theta=32'')^2 = 1024\,\mathrm{arcsec}^2=2.4\times10^{-8}\,\mathrm{sr}$, если вы скажете, что он охватывает площадь$A = 1\,\mathrm{Mpc}^2$(что верно только при$z=3$), ты получишь

$$V_\mathrm{approx.} = 1\,\mathrm{Mpc}^2 \times (6508 - 5312)\,\mathrm{Mpc} = 1198\,\mathrm{Mpc}^3,$$ тогда как с правильной формулой вы получите $$V_\mathrm{true} = \frac{2.4\times10^{-8}}{3} \left( 6508^3 - 5312^3\right)\,\mathrm{Mpc}^3 = 1011\,\mathrm{Mpc}^3,$$ то есть на 16% процентов ниже.

Если, с другой стороны, ваш FOV$\Omega = (\mathbf{39}'')^2$, и если вы скажете, что он охватывает площадь$A = 1\,\mathrm{Mpc}^2$(что верно только при$z=\mathbf{2}$), то истинный объем будет 1500 Мпк, т.е. на 25% больше ваших ~1200 Мпк.

Поскольку правильный расчет не намного сложнее, чем приближение, я предлагаю вам придерживаться правильного.

Путь Python

С astropyмодулем просто введите

from astropy.cosmology import Planck15
from astropy import units as u
theta_RA  = 32 * u.arcsec
theta_dec = 32 * u.arcsec
Omega     = (theta_RA * theta_dec).to(u.steradian).value # get rid of unit
d2        = Planck15.comoving_distance(2)
d3        = Planck15.comoving_distance(3)
V         = Omega/3 * (d3**3 - d2**3)
print(V)

1011.0148201494444 Mpc3

или

V23  = Planck15.comoving_volume(3) - Planck15.comoving_volume(2)
V    = Omega/(4*pi) * V23

что дает тот же результат.