Распространитель свободных частиц - Оценка интеграла [закрыто]

В формализме интеграла по путям при оценке пропагатора свободной частицы мы получаем функциональный интеграл формы

$$K_0 = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg)^\frac{n}{2} \int \prod_{i=1}^{n-1}dx_i \; \exp\bigg(\frac{im\tau}{2}\sum_{j=0}^{n-1}(x_{j+1} - x_j)^2\bigg).$$

Начнем с того, что я сначала решил для некоторого конечного$n$случае, а затем обобщить по индукции. Но даже для конечного случая я не понимаю, как вычислить интеграл. Например, с$n=2$случае, я получу интеграл вида,

$$I = \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg) \int dx_1e^{\frac{im\tau}{2} \bigg((x_{2} - x_1)^2+(x_{1} - x_0)^2\bigg)}.$$

Как мне решить этот интеграл? Я знаю, что это просто какой-то тривиальный трюк с заменой, но я просто запутался, куда идти.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

После небольшого вычисления интеграла я получаю интеграл вида

$$\int_{0}^{\infty} e^{iax^2}\;dx$$ и произвести замену на него $s= -iax^2$и $dx = \frac{ds}{\sqrt{-ias} }$, но как оценить такой интеграл (я имею в виду, какой контур мы можем выбрать) $$\int_{0}^{i\infty} \frac{ds}{\sqrt{-ias}} e^{-s}$$

PS: Схема контура будет очень полезна :)