Разница между матричными представлениями тензоров и δijδji\delta^{i}_{j} и δijδij\delta_{ij}?

I) Давайте для простоты обсудим тензоры в контексте (конечномерных) векторных пространств и полилинейной алгебры . [Существует прямое обобщение на многообразия и дифференциальную геометрию .]

II) Абстрактно в бескоординатной записи дельта-тензор Кронекера или тензорное сжатие является естественным спариванием

между$\mathbb{F}$-векторное пространство$V$и его двойственное векторное пространство $V^{*}$.

III) Если мы выберем базис$(e_i)_{i\in I}$за$V$, имеется двойственный базис $(e^{j*})_{j\in I}$за$V^{*}$такой, что

[Здесь мы различаем ковариантные и контравариантные индексы .] Тогда для вектора$v=\sum_{i\in I} v^i e_i\in V$и ковектор$f=\sum_{j\in I} f_j e^{j*}\in V^{*}$, карта сжатия (1) есть

Другими словами,$\delta^j_i$представляет собой матричное представление для$\delta$карта сжатия (1). Интересен тот факт, что матричное представление не зависит от выбора базиса.$(e_i)_{i\in I}$за$V$, пока мы выбираем соответствующий двойственный базис для$V^{*}$естественным путем. Мы часто говорим, что$\delta^j_i$преобразуется как тензор или является тензором.

IV) А теперь как насчет$\delta_{ij}$с более низкими показателями? Ну, сначала мы должны ввести симметричную билинейную форму , или метрику,

Если мы выберем основу$(e_i)_{i\in I}$за$V$, то мы можем написать

Часто мы выбираем метрику, которая является единичной матрицей в определенном базисе.

Если мы теперь выберем другой базис, то матричное представление$g_{ij}$для метрики (4) в общем случае изменится. В общем случае это уже не будет единичной матрицей$\delta_{ij}$. Мы говорим, что$\delta_{ij}$не трансформируется как тензор при общем изменении оснований/координат.

В двух словах,$\delta_{ij}$с более низкими индексами неявно сигнализирует о наличии метрики (4), или, другими словами, понятия масштаба длины в векторном пространстве$V$. Важно понимать, что выбор метрики (4) в$V$неканонический выбор.

V) Однако, как только нам дана метрика$g$, естественно изучать изменения базисов/координат, сохраняющие эту метрику$g$. Они соответствуют ортогональным преобразованиям и$\delta_{ij}$ведет себя как ковариантный тензор при таких ортогональных преобразованиях.

тл;др

Все$\delta^{ij}$,$\delta_{ij}$,$\delta^i\,_j$,$\delta_i\,^j$отличаются, если только вы не работаете с декартовыми тензорами (тензоры в евклидовом пространстве, представленные в декартовых координатах). Все декартовы тензоры имеют одинаковые значения, хотя технически они означают разные вещи. В общем случае$\delta^i\,_j$,$\delta_i\,^j$по-прежнему всегда дают вам матрицу идентичности, но$\delta_{ij} = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$который дает только единичную матрицу для ортонормированного базиса и$\delta^{ij}$матрица, обратная$\delta_{ij}$($\delta$действительно метрический тензор).

разглагольствовать

Плохая идея преподавать/изучать тензорное исчисление, начиная с декартовых тензоров, что, как я подозреваю, и делает ваша книга, именно потому, что ключевые особенности тензорного исчисления становятся тривиальными в этом контексте. Тензорное исчисление предназначено для работы с искривленными пространствами и/или криволинейными координатами. Именно здесь дополнительный механизм тензорного исчисления действительно работает. Кроме того, тензорное исчисление в первую очередь предназначено для работы с полями: в тензорном исчислении «вектор» обычно является векторным полем, и аналогично для «тензора».

Чтобы понять мотивы тензорного исчисления, важно помнить, что обычное определение векторного пространства не включает скалярный продукт. Внутренние продукты являются дополнительной структурой, и различные внутренние продукты могут быть определены поверх того же базового векторного пространства. Это помогает увидеть разницу между векторным пространством и его двойственным пространством, которая в противном случае может показаться тривиальной. Даже когда внутренний продукт определен, обычная формула продукта компонентов для него действительна только в основаниях, которые ортогональны по отношению к продукту.

Только в общем случае действительно необходим явный метрический тензор, и существует реальная разница между контравариантными и ковариантными компонентами вектора.

Я настоятельно рекомендую главу 14 книги Пенроуза « Дорога к реальности » для концептуального объяснения тензоров.

Эти символы Кронекера имеют те же матричные представления, как вы сказали, только единичную матрицу. Индексы располагаются вверху или внизу в соответствии с правилом суммирования Эйнштейна ( http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation ). Они всегда используются вместе с ковариантными и контравариантными векторами ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors ) в криволинейных системах координат. Я узнал об этих вещах в контексте электромагнитной теории. Если вы тоже знакомы с электромагнитной теорией, я бы порекомендовал разделы 1.14–1.17 в книге « Электромагнитная теория » Стрэттона. Там можно найти вполне понятное объяснение.

Обычно символ$\delta_{ij}$используется для дельта-функции Кронекера, а$\delta_{i}^{j}$это$(1,1)$тензор. Хорошо описано в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta

Иногда использование вводит в заблуждение. Например, для матриц Паули:$[\sigma_a, \sigma_b]_{+} = 2 \delta_{a b}$, а точнее надо написать$[\sigma_a, \sigma_b]_{+} = 2 \delta_{a b}\,\mathbb{I}_{2}$. В любом случае ответ Пу Чжана правильный.