Разрыв калибровочной группы через монополь...

Во-первых, взгляните на статьи https://arxiv.org/abs/1602.04251 и https://arxiv.org/abs/1605.02391 , где авторы (Зайберг и Виттен) проводят более тщательный анализ свойств монополя. операторов, что чрезвычайно полезно в цитируемой вами статье.

Теперь вернитесь к вашему вопросу.

1 и 3. Короткий ответ, да. Но позвольте мне немного пояснить (просто пропустите, если вы это уже знаете). В 3+1$D$ $U(1)$В абелевой калибровочной теории мы обычно имеем тождество Бьянки.

$$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0.$$ Но если мы допустим дираковскую особенность в пространстве (скажем, при $\textbf{x}=0$происхождение), мы можем иметь следующее $$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{2\pi}{e}\delta^3(\textbf{x}),$$ квантование которого происходит из-за однозначности волновой функции электрона (или, в более математической терминологии, из-за непротиворечивости калибровочного пучка). Чтобы обобщить приведенные выше результаты на неабелеву калибровочную теорию, рассмотрим неабелеву тождество Бьянки $$D_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$$ который заменяет обычную производную $\partial_\mu$с ковариантной производной $D_\mu$и содержит кусок вроде $[A,F]$. Чтобы имитировать приведенную выше конструкцию, магнитные заряды должны коммутировать друг с другом, чтобы вклад $[A,F]$обращается в нуль, и заряды могут быть выбраны так, чтобы они лежали в весовой решетке (как показано в оригинальной статье GNO). Следовательно, монополь GNO существенно абелев.

После введения в теорию некоторого монопольного оператора выживает только групповой элемент, коммутирующий с монопольным зарядом, что в данном случае объясняет, почему оставшаяся калибровочная группа является$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Здесь$\mathbb{Z}_2$следует из того ограничения, что определитель новой калибровочной группы, т. е. определитель$O(2)$часть, умноженная на определитель$O(N-2)$часть, по-прежнему должна быть равна 1.

2. Это просто аргумент теории представлений. Фермионы находятся в симметричном представлении$SO(N)$. Теперь калибровочная группа разбита на$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Поэтому нам нужно проанализировать, как фермионы трансформируются в новом представлении. Помимо аргумента теории формального представления, эвристический аргумент состоит в следующем.

Думайте о фермионах как об элементах некоторых$N\times N$симметричная бесследовая матрица$A$, который имеет$\frac{1}{2}(N^2+N) - 1$элементы. Действие$SO(N)$элементы$U$на матрице есть$A\rightarrow U^\text{T}AU$. Подумайте о верхнем левом$(N-2)\times(N-2)$блок$U$как подгруппа$O(N-2)$и нижний правый$2\times 2$блокировать как подгруппу$O(2)$. Легко видеть, что соответствующий верхний левый$(N-2)\times(N-2)$блок$A$преобразовать в симметричное (но не бесследовое) представление$O(N-2)$и не трансформируется под$O(2)$. Эти$\frac{1}{2}(N^2-3N+2)$фермионы нейтральны. Точно так же нижний правый$2\times 2$блок$A$(за исключением части трассировки, которую мы включаем в верхний левый блок и не преобразуем при$O(2)$) преобразуются в симметричное бесследовое представление$O(2)$(т.е. представление со спином 2), но не преобразуются при$O(N-2)$. Наконец, остальные должны преобразоваться в векторное представление обоих$O(N-2)$и$O(2)$. Этот вид анализа можно легко обобщить на антисимметричное представление, как и аргумент теории формального представления, который можно найти в любом стандартном учебнике по теории групп.