Релятивистские эффекты орбиты вокруг Солнца в другом направлении, чем Земля

Метрика для системы покоя вращающегося наблюдателя сложна, поэтому вычислить, как ваши часы смотрят на Землю или как земные часы смотрят на вас, сложно. Однако есть простой аргумент, который мы можем использовать, чтобы показать, что в целом ваши и земные часы будут идти с одинаковой скоростью, и оба будут идти медленнее, чем часы на Солнце.

Рассмотрим эту диаграмму, на которой вы и Земля вращаетесь вокруг Солнца на одном и том же расстоянии, но в разных плоскостях:

Ваша орбита и орбита Земли дважды пересекутся на каждой орбите в отмеченных мною точках.$A$и$B$. Я сижу с секундомером в точке$A$поэтому однажды на каждой орбите вы, Земля и я оказываемся в одной и той же точке. Когда мы втроем в точке$A$мы все сбрасываем наши часы на ноль. Наблюдатели в одной и той же точке пространства-времени могут напрямую сравнивать свои часы, так что мы все согласны, что наши часы показывают ноль. Затем вы и Земля отправляетесь на свои орбиты, а я остаюсь неподвижным в точке$A$. Одну орбиту спустя мы втроем снова встречаемся и сравниваем наши часы. Теперь ваш вопрос сводится к вопросу о том, как сравниваются наши три часа.

В моем кадре и ваши, и земные часы идут медленно, а замедление времени просто$1/\gamma$(если вам интересно, я докажу это в своем ответе на вопрос Можно ли использовать ультрацентрифугу для проверки общей теории относительности? ). Теперь мой аргумент:

1. в моем кадре замедление времени$1/\gamma$как для вас, так и для Земли, потому что не имеет значения, под каким углом вы вращаетесь. Поэтому, когда мы все снова встретимся в точке$A$Я буду следить за тем, чтобы ваши и земные часы читали одно и то же.

2. потому что мы все в одной точке пространства-времени$A$мы все должны согласиться с тем, что показывают часы. Следовательно, если я наблюдаю, что ваши и земные часы показывают одно и то же, то и вы, и Земля должны также наблюдать, чтобы ваши и земные часы читали одно и то же.

3. поэтому при усреднении в течение одной орбиты ваши и земные часы должны идти с одинаковой скоростью.

Это показывает, что при усреднении по любому целому числу оборотов ваши и земные часы идут с одинаковой скоростью. Во время орбиты синхронизация между вашими и земными часами будет сложным образом дрейфовать относительно друг друга, но в долгосрочной перспективе они останутся прежними.