Резисторная цепь, не параллельная или последовательная

Я дам ответ на этот вопрос, используя необычный метод, который появился в разделе задач журнала American Mathematical Monthly, возможно, в конце 1970-х годов. Это не обязательно самый простой способ решения задачи, но он прекрасно работает с алгебраической точки зрения.

Способ, которым большинство людей решает большинство проблем с сопротивлением, заключается в использовании правил последовательного и параллельного резисторов. Они математически элегантны, поскольку включают только сопротивление. Но эту схему нельзя свести к последовательным и параллельным правилам (правильно ли это, если вы запишете бесконечный ряд в R3, возможно?), поэтому, вероятно, самый простой метод — подать напряжение V на цепь и использовать алгебру для решения общий ток. Это неэлегантно (но физически) в том смысле, что вводит идеи, отличные от самого сопротивления.

Метод «дельта», упомянутый Манишертом (но в настоящее время фактически не проработанный до окончательного ответа), - это то, как EE решит проблему. Его преимущество заключается в том, что он придерживается сопротивления, но он требует несколько неинтуитивных изменений в топологии схемы.

Метод, который я здесь даю, использует только сопротивления и иллюстрирует общее решение такого рода проблем. Если обобщить$R_k$к комплексным числам$Z_k$, его можно использовать для общих импедансов (как и дельта-метод), но он более общий, чем дельта-метод. Это также может помочь учащимся понять сопротивление листа, поэтому я думаю, что стоит потратить время, чтобы ввести его:

Во-первых, мы заменяем резисторы тонким плоским материалом, который имеет поверхностное сопротивление 1 Ом на квадрат. Из такого материала, если вырезать прямоугольник размерами 1 х R, мы получим сопротивление R ом между двумя проводниками, присоединенными к сторонам 1 длины:

Теперь, что касается поверхностного сопротивления, то вы можете масштабировать резистор до любого размера, который вам нравится; пока вы сохраняете отношение длин сторон как «R», результирующий резистор будет иметь сопротивление R. Лист может быть составлен из маленьких листов, которые склеены вместе. Чтобы сделать оклейку правильно, нам нужно использовать изолирующий клей для горизонтальных соединений и токопроводящий клей для вертикальных соединений. Это потому, что ток течет только слева направо. Таким образом, изолирующий клей не помогает и не препятствует протеканию тока, а вертикальные соединения не имеют значения, потому что весь проводящий клей в любом случае имеет одинаковое напряжение. Я видел этот метод вычисления резисторов в решении задачи E2459 в журнале American Mathematical Monthly за февраль 1975 года .

Поэтому замените данную схему на схему, в которой каждый резистор заменен прямоугольной областью с размерами, соответствующими его сопротивлению. При этом мы должны сделать предположение о том, каким путем протекает ток через резистор R3. Я предполагаю, что он течет сверху вниз. А для того, чтобы установить масштаб для всего этого, давайте сделаем вертикальный размер R3 равным 1. Это дает нам следующий рисунок:

Теперь общая цепь имеет сопротивление, определяемое отношением ее длины к ширине:

Используйте преобразование звезда-дельта , чтобы упростить часть схемы. Вы также можете использовать принцип суперпозиции.

 A x----x-----[1]-----x-----[2]-----x----x B
        |             |             |
       [4]           [3]           [5]
        |             |             |
        |-------------x-------------|    

$\uparrow$Рисунок 1. Оригинальная схема ОП.

Как предложил Manishearth, можно выполнить$Y$-$\Delta$трансформироваться из$Y$-сопротивления$R_1$,$R_2$а также$R_3$, к$\Delta$-проводимости$G_1$,$G_2$а также$G_3$(используя$123$соглашение о симметричной маркировке), ср. Рис.2 ниже.

 A x----x------x-----[3]-----x------x----x B
        |      |             |      |
       [4]    [2]           [1]    [5]
        |      |             |      |
        |------x-------------x------|    

$\uparrow$Рис.2. А$\Delta$-эквивалентная схема оригинальной схеме OP.

С точки зрения формул,$Y$-$\Delta$преобразование задается как

The $\Delta$эквивалентную схему на рис.2 можно рассматривать как состоящую только из последовательных и параллельных резисторов . Эквивалентная проводимость между$A$а также$B$поэтому становится

(Наконец отметим, что также можно применить$Y$-$\Delta$преобразовать в другие тройки из пяти резисторов, чем$123$.)

Вот как я бы это сделал, следуя методу, описанному kleingordon в комментарии. Этот метод менее крутой, но более общий, чем ответ Карла Браннена, потому что он будет работать даже в том случае, когда есть пересекающиеся провода, и вы не можете превратить его в единый лист резистивного материала.

Пусть электрический потенциал при$A$быть$V_A$и что в$B$быть$V_B$. Также пусть потенциал на проводе, который соединяет$R_1$к$R_2$а также$R_3$быть$V_C$и пусть потенциал на проводе, соединяющем$R_4$к$R_3$а также$R_5$быть$V_D$. Мы знаем, что ток через каждый резистор должен равняться разности потенциалов, деленной на сопротивление, поэтому имеем

Мы также знаем, что ток должен сохраняться в каждом соединении, что дает нам

Мы хотим рассчитать сопротивление, которое дается выражением$(V_A-V_B)/(I_1+I_2).$Поскольку все линейно, мы можем предположить без ограничения общности, что$V_B=0$а также$V_A=1$. Это дает нам семь уравнений с семью неизвестными, которые мы можем решить, чтобы найти ответ.

Я не работал над этим, потому что это немного трудоемко (я, вероятно, использовал бы систему компьютерной алгебры, а не делал это вручную), но он должен дать тот же ответ, что и метод Карла Браннена.

После комментария Googler к ответу Карла Браннена:

Но я думаю$R_1x_1=R_4x_4−R_3$а также$R_5x_5=R_2x_2−R_3.$Что я делаю неправильно? Пожалуйста, объясни

Если вы выполните это исправление до конца (т. е. поменяете местами ваши индексы 1 и 4, а также 2 и 5 в вашем вступительном горизонтальном рассмотрении - вертикальные утверждения не нуждаются в изменении), то вы получите аналогичный результат:

$$R = L/W = \frac{R_1R_4(R_2+R_5)+R_2R_5(R_1+R_4)-R_3(R_4+R_5)(R_1+R_2)}{(R_2+R_5)(R_1+R_4)-R_3((R_1+R_2)+(R_4+R_5))}.$$

но без отрицательных знаков каждого$R_3$срок:

Этот результат также дает правильные результаты как для R, стремящегося к 0, так и для R, стремящегося к бесконечности, но определения R теперь согласуются с диаграммой.

Вот несколько шагов:

У нас есть:

Используя также:

и устранение$x_1$а также$x_5$из горизонтальных уравнений получаем:

Они решают дать:

и наконец

Интересно, если резисторы$R_1, R_2, R_4, R_5$все имеют одинаковое значение, скажем$\rho$, то можно показать, что сопротивление всей цепи не будет зависеть от$R_3$вообще и вместо этого будет просто равно$\rho$.

Я думаю, что эта формула может помочь вам:

$$R_3 \frac{R_1 + 3R_2}{R_4+3R_5}$$