Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Question

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

квантовый ковбой

Я немного запутался в весе тензорной плотности скобок Пуассона в общей теории относительности и их ковариации. Возможно, это связано с неясностью того, что происходит, когда я интегрирую скалярную плотность некоторого веса, отличного от 1. Допустим, у меня есть скобка Пуассона общей теории относительности в формализме 3+1 ADM, действующая на некоторый локальный скаляр. $f(x)$ на пространственно-временном срезе и некоторой скалярной величине $G$ . ( $G$ может быть гамильтонианом, и $f(x)$ может быть скаляром, но также может быть скалярной плотностью, например . $\sqrt{g}$ что меняет дело, но не суть того, о чем я спрашиваю). Скобка Пуассона определяется выражением

\begin{aligned} {ф (Икс), г} & "=" \int д^{3} у [\frac{дельта ф (Икс)}{дельта г_{а б} (у)} \frac{дельта г}{дельта π^{а б} (у)} - \frac{дельта ф (Икс)}{дельта π^{а б} (у)} \frac{дельта г}{дельта г_{а б} (у)}] \\ \overset{?}{"="} \frac{дельта ф (Икс)}{дельта г_{а б} (Икс)} \frac{дельта г}{дельта π^{а б} (Икс)} - \frac{дельта ф (Икс)}{дельта π^{а б} (Икс)} \frac{дельта г}{дельта г_{а б} (Икс)} \end{aligned}

$\begin{align} \{f(x),G\}&=\int d^3y \Big[ \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(y)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(y)}\Big] \\ &\stackrel{?}{=} \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(x)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(x)} \end{align}$ с

g_{a b}

$g_{ab}$ 3-метрика и используя соглашение о сопряженных импульсах

π^{a b}

$\pi^{ab}$ тензорная плотность веса единица (поскольку мы получаем ее из лагранжевой плотности). 2 вопроса: во-первых, тензорный вес первого выражения кажется равным -2 (плюс все, что идет с

f

$f$ , так как у меня есть

d^{3} y

$d^3y$ на вершине и

δ π^{a b}

$\delta \pi^{ab}$ на дне. Так как левая сторона обычно что-то вроде

\partial_{t} f (x)

$\partial_tf(x)$ , я ожидал бы, что его тензорный вес будет равен 1. И это выражение не похоже, что оно даст инвариантность к диффеоморфизму, хотя я допускаю, что оно должно (полагаю, нужно учитывать, как 3-многообразие находится в 4-многообразии). - многообразие для этого).

Здесь обсуждается свойство инвариантности скобки Пуассона: Скобки Пуассона в искривленном пространстве-времени , но я не нахожу это особенно поучительным. У кого-нибудь есть простое объяснение?

Ответы (1)

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

Qмеханик · Answer 1

Это не ограничивается ГР . В более общем плане, учитывая $(r,s)$ тензорное поле $\phi(x)$ , поле сопряженного импульса $\pi(x)$ является $(s,r)$ тензорное поле плотности . См. также этот пост на Phys.SE $^1$ .
Даны два скалярных локальных функционала вида
$\begin{matrix} (А) & Ф "=" \int д^{3} Икс р (Икс) ф (Икс) и г "=" \int д^{3} Икс р (Икс) г (Икс), \end{matrix}$ $F =~ \int d^3x~\rho(x)~f(x)\qquad\text{and}\qquad G =~ \int d^3x~\rho(x)~g(x),\tag{A}$ где $\rho(x)$ - поле плотности, и $f(x),g(x)$ являются скалярными полями, то функциональные производные $^2$ $\begin{matrix} (Б) & \frac{дельта Ф}{дельта ф (Икс)} "=" \frac{\partial [р (Икс) ф (Икс)]}{\partial ф (Икс)} - \frac{д}{д {Икс}^{я}} \frac{\partial [р (Икс) ф (Икс)]}{\partial [\partial_{я} ф (Икс)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{B}$ и $\begin{matrix} (С) & \frac{дельта г}{дельта π (Икс)} "=" \frac{\partial [р (Икс) г (Икс)]}{\partial π (Икс)} - \frac{д}{д {Икс}^{я}} \frac{\partial [р (Икс) г (Икс)]}{\partial [\partial_{я} π (Икс)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial \pi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial [\partial_i\pi(x)]}+\ldots \tag{C}$ являются $(s,r)$ тензорное поле плотности и $(r,s)$ тензорное поле соответственно. Поэтому каноническая скобка Пуассона $\begin{matrix} (Д) & {Ф, г} "=" \int д^{3} Икс (\frac{дельта Ф}{дельта ф (Икс)} \frac{дельта г}{дельта π (Икс)} - \frac{дельта Ф}{дельта π (Икс)} \frac{дельта г}{дельта ф (Икс)}) \end{matrix}$ $\{ F,G\}~=~ \int d^3x~\left(\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta F}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\right)\tag{D}$ снова является скалярным локальным функционалом.
В частности, $^3$
$\begin{matrix} (Э) & \begin{aligned} {ф (Икс), г} & "=" \int д^{3} у (\frac{дельта ф (Икс)}{дельта ф (у)} \frac{дельта г}{дельта π (у)} - \frac{дельта ф (Икс)}{дельта π (Икс)} \frac{дельта г}{дельта ф (у)}) \\ "=" \frac{дельта ф (Икс)}{дельта ф (Икс)} \frac{дельта г}{дельта π (Икс)} - \frac{дельта ф (Икс)}{дельта π (Икс)} \frac{дельта г}{дельта ф (Икс)} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \{ f(x),G\}&=~ \int d^3y~\left(\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(y)}\frac{\delta G}{\delta\pi(y)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(y)}\right)\cr &=~ \frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\end{align} \tag{E}$ в терминах функциональных производных в одном пространстве $\begin{matrix} (Ф) & \frac{дельта ф (Икс)}{дельта ф (Икс)} "=" \frac{\partial ф (Икс)}{\partial ф (Икс)} - \frac{д}{д {Икс}^{я}} \frac{\partial ф (Икс)}{\partial [\partial_{я} ф (Икс)]} + \dots, \end{matrix}$ $\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}~:=~ \frac{\partial f(x)}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial f(x)}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{F} ,$ ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

--

$^1$ Если $\phi(x)$ — тензорное поле плотности, то сопряженное поле импульса $\pi(x)$ является тензорным полем, т. е. тогда роли меняются местами.

$^2$ Многоточие $\ldots$ обозначает возможные члены производных по пространству более высокого порядка.

$^3$ В этом ответе мы используем соглашение о том, что дельта-распределение Дирака $\delta^3 (x,y)$ является плотностью

\begin{matrix} (Г) & \int д^{3} у {дельта}^{3} (Икс, у) ф (у) "=" ф (Икс) . \end{matrix}

$\int d^3y~\delta^3 (x,y) f(y)~=~f(x). \tag{G}$ Кроме того, мы используем соглашение о том, что

\begin{matrix} (ЧАС) & \frac{дельта ф (Икс)}{дельта ф (у)} "=" {дельта}^{3} (Икс, у) . \end{matrix}

$\frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)}~=~\delta^3(x,y) \tag{H} .$

Скобка Пуассона в общей теории относительности и тензорный вес

квантовый ковбой

Ответы (1)

Qмеханик

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?

Коммутируют ли контравариантные и ковариантные частные производные в ОТО?

Использование −g−−−√−g\sqrt{-g} в интегралах правильного объема

Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?

Коммутатор ковариантных производных, действующих на векторную плотность

Ковариантная производная и правило Лейбница

Естественность тензорных полей в ОТО?

Почему в ОТО упор делается на тензорные уравнения?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?