След операторной матрицы (квантовые вычисления и квантовая информация)

1. Позволять$\{|i\rangle\}$— ортонормированный базис гильбертова пространства системы. Тогда след оператора$O$дается (см. Приложение ниже)

   $$\begin{align} \mathrm {tr}(O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align}$$

2. Для данного состояния$|\psi\rangle$, мы определяем оператор$P_\psi$от

   $$\begin{align} P_\psi|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle|\psi\rangle. \end{align}$$ В качестве сокращения мы обычно пишем$P_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|$.

3. Используя шаги 1 и 2, мы вычисляем:

   $$\begin{align} \mathrm{tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|) &= \mathrm{tr}(A P_\psi) \\ &= \sum_i \langle i|AP_\psi|i\rangle\\ &= \sum_i \langle i|A (\langle\psi|i\rangle|\psi\rangle)\\ &= \sum_i \langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle \end{align}$$ что является желаемым результатом.

Дополнение. (Формула следа)

Для простоты я ограничу обсуждение конечномерными векторными пространствами. Напомним, что если$O$является линейным оператором в векторном пространстве$V$, и если$\{|i\rangle\}$является основой для$V$, то элементы матрицы$O_{ij}$из$O$по отношению к этому основанию определяются его действия на этом основании следующим образом:

$$\begin{align} O|i\rangle = \sum_jO_{ji}|j\rangle. \tag{$\star$} \end{align}$$ Тогда след линейного оператора относительно этого базиса определяется как сумма его диагональных элементов; $$\begin{align} \mathrm{tr}(O) = \sum_i O_{ii}. \tag{$\star\star$} \end{align}$$ Теперь оказывается, что след является независимым от базиса числом, поэтому мы можем просто сослаться на след линейного оператора; это просто след относительно любого выбранного базиса.

Теперь предположим, что$V$снабжен скалярным произведением, как и в случае гильбертовых пространств, и пусть$\{|i\rangle\}$быть ортонормированным базисом для$V$, то мы можем взять внутренний продукт обеих частей$(\star)$относительно элемента$|k\rangle$основания для получения

$$\begin{align} \langle k|O|i\rangle = \sum_j \langle k|O_{ji}|j\rangle = \sum_j O_{ji}\langle k|j\rangle = \sum_jO_{ji}\delta_{jk} = O_{ki} \end{align}$$ Другими словами, $\langle k|O|j\rangle$дает именно матричный элемент $O_{kj}$из $O$в заданном основании. В частности, диагональные элементы задаются формулой $\langle i|O|i\rangle$. Подключить это к $(\star\star)$, мы получили $$\begin{align} \mathrm{tr} (O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align}$$ по желанию.

Когда мы говорим о следах, мы обычно имеем в виду линейную функцию$tr : (\mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H})\to_{lin}\mathbb{C}$. Также мы имеем в виду, что в пространстве$\mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H}$есть специальные функции$|i\rangle\langle j|$которые образуют ортогональный базис, т.$\forall B\in \mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H} : \exists B_{ij}\in\mathbb{C}: B = \sum_{ij}B_{ij}|i\rangle\langle j|$и что$|i\rangle$и$|j\rangle$различные названия ортогональных базисных векторов в$\mathbb{H}$.

Теперь у нас есть факт о внутреннем продукте в$\mathbb{H}$($\delta_{ij}$= 1, если$i=j$, 0 иначе)

$$\langle i|j\rangle =_1 \delta_{ij}$$

Мы определяем нашу трассировку$tr$для базовых функций следующим образом:

$$tr(|i\rangle\langle j|) =_2 \langle j|i\rangle$$ и автоматически получить из одних рук $$tr(B) = tr(\sum_{ij}B_{ij}|i\rangle\langle j|)=_{lin} \sum_{ij}B_{ij}tr(|i\rangle\langle j|) =_2 \sum_{ij}B_{ij} \langle j|i\rangle =_1 \sum_{ij}B_{ij}\delta_{ij} = \sum_{i}B_{ii}$$ с другой стороны (не обращайте внимания на различия в именах индексов), $$\sum_{i}\langle i|B|i\rangle = \sum_{i}\sum_{mn}B_{mn}\langle i|m\rangle\langle n|i\rangle =_1 \sum_{i}\sum_{mn}B_{mn}\delta_{im}\delta_{ni} = \sum_{i}B_{ii}$$ Наконец, предположим, что$B = A|\psi\rangle\langle\psi|$и получить желаемое $$tr(A|\psi\rangle\langle\psi|) = \sum_{i}\langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle$$