Собственное время в общей теории относительности и изменение координат

Позволять М — пространственно-временное многообразие, и рассмотрим локальную систему координат

ф я : U я ⊂ М → ф я ( U я ) ⊂ р н ,
который связывает п е U я → ф я ( п ) ≡ Икс я мю .

Это способ описания пространственно-временного события. п с набором чисел: другая локальная система координат ф Дж определено на U Дж описывает одно и то же событие с разными номерами Икс ′ мю , что должно быть связано с Икс я мю на перекрестке U я ∩ U Дж к Икс ′ мю "=" ф Дж ∘ ф я − 1 ( Икс мю ) .

Насколько я понимаю, локальные системы координат — это просто наблюдатели, которые видят одно и то же событие с разных точек зрения и описывают его разными цифрами.

Учитывая псевдориманову метрику г , можно выразить это относительно двух разных систем координат как

г "=" г мю ν ( Икс ) г Икс мю г Икс ν "=" г мю ν ′ ( Икс ′ ) г Икс ′ мю г Икс ′ ν ,
откуда можно вывести правило преобразования коэффициентов г мю ν .

Часто говорят, что собственное время движущейся частицы определяется НАБЛЮДАТЕЛЕМ, который сидит на частице и видит саму частицу в состоянии покоя. Таким образом

г т 2 "=" г "=" г мю ν ( Икс ) г Икс мю г Икс ν .
Является ли собственное время системой координат, поскольку оно является наблюдателем?

  1. Если это так, то левая сторона должна быть связана с правой посредством некоторого изменения координат, которое, тем не менее, кажется весьма своеобразным, поскольку оно не выглядит обратимым. Я ошибаюсь?
  2. Кроме того, я изо всех сил пытаюсь понять наблюдателя (т. е. систему координат), который меняется точка за точкой по мере того, как мы следуем траектории частицы (поскольку точка за точкой пространственные координаты, описывающие частицу, равны нулю) в контексте дифференциальной геометрии.
    Другими словами, является ли система отсчета, находящаяся на движущейся частице, единой системой координат?

Я хотел бы понять вышеизложенные пункты с математической точки зрения.

Ответы (1)

К сожалению, отношения между наблюдателями и координатами не так просты. Это верно в специальной теории относительности для инерциальных наблюдателей (в некоторой степени), но в более общем случае связь между ними более тонкая.

Наблюдатель — это, вообще говоря, ориентированная в будущее времяподобная кривая. γ . Иногда мы также даем им дополнительные атрибуты, чтобы отразить, как может работать реальное физическое устройство: бортовые часы. час (это потому, что время, которое измеряет наблюдатель, может не обязательно быть собственным временем), которое представляет собой некоторую монотонно возрастающую функцию от точек кривой к р :

час : я м ( γ ) → р

Это используется в основном, если мы думаем о реальных экспериментах, обычно час будет просто отражать правильное время. Наблюдатель также может иметь локальную систему отсчета е а , что представляет собой три линейно независимых пространственно-подобных направления, так что мы можем выполнять измерения таких направлений, как углы падения и тому подобное.

Теперь, поскольку наблюдатель представляет собой простую кривую, он не может быть эквивалентен системе координат, потому что наблюдатель не может реально измерить что-либо за пределами своего непосредственного окружения. Простая причина, почему нет, заключается в следующем: рассмотрим систему координат, адаптированную к наблюдателю, а затем проведем над ней диффеоморфизм, который является тождественным вокруг наблюдателя, но не вне его области. С точки зрения наблюдателя разницы не будет.

Каким же образом мы можем связать наблюдателя с системой координат? Самый простой способ, которым это обычно делается, состоит в том, что ваш наблюдатель может быть линией постоянных пространственных координат, а его координата во времениподобном направлении может быть эквивалентна собственному времени (или его бортовым часам, если вы так выберете). Кроме того, если наша локальная система координат не слишком сумасшедшая, мы также можем сделать так, чтобы локальная система координат была ориентирована в том же направлении, что и базис координат. Если наблюдатель является геодезическим, это координаты Ферми . Есть более общие процессы, которые вы можете использовать для более произвольных наблюдателей, но это наиболее распространенные.

Координаты Ферми и другие координаты их типов (например, радиолокационные координаты) всегда носят локальный характер и несколько произвольны. Обычно они в какой-то степени согласуются вблизи наблюдателя, но могут начать расходиться по мере удаления, и обычно есть точка, за которой они вообще перестают быть достоверными (например, при наличии локуса сечения ) .

Можно иметь лучший метод построения координат «физически», если у вас есть наблюдатель, проходящий через каждую точку пространства, но это более сложный процесс.

С другой стороны, можете ли вы получить наблюдателя наоборот, начиная с некоторых координат? Сначала ответ будет очевидным: нет. Классический пример — нулевые координаты

г с 2 "=" − г т г Икс

Все постоянные линии этих координат являются нулевыми кривыми и, следовательно, не являются наблюдателями, хотя это всего лишь пространство Минковского. Однако, если одна из ваших координат является времениподобной кривой, то да, вы можете просто провести линию вдоль этой координаты (с нулевыми пространственными координатами, для дополнительного удовольствия), поставить тетрады в качестве локальной системы отсчета, и это действительно будет наблюдатель этой системы координат в этой точке. Но имейте в виду, что эта кривая не гарантирует ни геодезическую, ни даже собственное время. Это обычный трюк в общей теории относительности: если ваша метрика стационарна, вы всегда можете просто выполнить довольно простое преобразование координат.

т ′ "=" ф ( т )

что не изменит ничего, кроме времениподобного компонента метрики, и в этом случае, если ваша кривая изначально шла как собственное время, она больше не будет этого делать.

Собственное время в общей теории относительности и изменение координат
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v