Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Question

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

ГейзенбергсСобака

Рассмотрим наблюдаемую в квантовой механике с вырожденным собственным значением в непрерывном спектре.

Может ли такое собственное значение иметь конечное вырождение?
Если вырождение бесконечно, могут ли оно иметь счетно бесконечные собственные векторы? (то есть можно ли перечислить его собственные векторы?)

Теперь предположим, что у нас есть вырожденное собственное значение в дискретном спектре.

Может ли такое собственное значение быть бесконечно вырожденным? Если да, то являются ли соответствующие собственные векторы счетными или несчетными?
Меня также интересует, как бы вы написали единичный оператор (отношение полноты) в каждом из этих случаев.

Любопытный

Строго говоря, в физике нет кардинальности (кроме тривиального случая, когда все измеримое конечно). Если речь идет о физически нереализуемых системах, которые чрезмерно упрощены, то я думаю, что могу представить пример для 1), поэтому математически я бы ответил утвердительно. Я не понимаю, почему 2) следует исключать, но я хотел бы услышать, почему / если вы думаете, что это возможно. 3 понятия не имею). Не следует ли самый общий вид единичного оператора из достаточно общего утверждения о спектрах линейных операторов?

Ургье

Предположим, что гильбертово пространство сепарабельно. 1) Да, подумайте о кулоновских (атом водорода) возбужденных состояниях, где собственное значение для разных m квантовых чисел одинаково. 2) Да. Тождественный оператор имеет собственное значение 1. Каждая ортонормированная база состоит из счетного числа взаимно ортогональных собственных векторов. 3) Да, см. 2).

Тимей

@CuriousOne Два - это проблема, потому что если у вас есть два различных собственных вектора с одним и тем же собственным значением, то любая их линейная комбинация также является собственным вектором с одним и тем же собственным значением, и существует несчетное количество линейных комбинаций двух различных векторов. Теперь наличие несчетного ортонормированного базиса собственных векторов отличается, но вы обычно предполагаете, что ваше пространство сепарабельно.

Любопытный

@ Тимеус: Спасибо! Теперь я лучше понимаю, что мог означать ОП.

ГейзенбергсСобака

Спасибо за ваши Коментарии. Конечно, я имел в виду количество линейно независимых собственных векторов (а не общее количество собственных векторов, которое явно несчетно).

Ответы (1)

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Строго говоря, в физике нет кардинальности (кроме тривиального случая, когда все измеримое конечно). Если речь идет о физически нереализуемых системах, которые чрезмерно упрощены, то я думаю, что могу представить пример для 1), поэтому математически я бы ответил утвердительно. Я не понимаю, почему 2) следует исключать, но я хотел бы услышать, почему / если вы думаете, что это возможно. 3 понятия не имею). Не следует ли самый общий вид единичного оператора из достаточно общего утверждения о спектрах линейных операторов?
Предположим, что гильбертово пространство сепарабельно. 1) Да, подумайте о кулоновских (атом водорода) возбужденных состояниях, где собственное значение для разных m квантовых чисел одинаково. 2) Да. Тождественный оператор имеет собственное значение 1. Каждая ортонормированная база состоит из счетного числа взаимно ортогональных собственных векторов. 3) Да, см. 2).
@CuriousOne Два - это проблема, потому что если у вас есть два различных собственных вектора с одним и тем же собственным значением, то любая их линейная комбинация также является собственным вектором с одним и тем же собственным значением, и существует несчетное количество линейных комбинаций двух различных векторов. Теперь наличие несчетного ортонормированного базиса собственных векторов отличается, но вы обычно предполагаете, что ваше пространство сепарабельно.
@ Тимеус: Спасибо! Теперь я лучше понимаю, что мог означать ОП.
Спасибо за ваши Коментарии. Конечно, я имел в виду количество линейно независимых собственных векторов (а не общее количество собственных векторов, которое явно несчетно).

Вальтер Моретти · Answer 1

(1) Да, возьмите ${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)\oplus L^2(\mathbb R, dx)$ и далее $\left(X (\psi, \phi)\right)(x,y) := (x\psi(x),y\phi(y))$ . У нас есть $\sigma(X)=\sigma_c(X)$ а дегенерация просто $2$ .

(2) Да, используйте пример (1) со счетно бесконечным числом копий $L^2(\mathbb R, dx)$ и использовать гильбертову прямую сумму гильбертовых пространств. (Существует бесконечно много линейно независимых собственных векторов.)

(3) Да, имея в виду гильбертову прямую сумму, возьмем ${\cal H} = \oplus_{k=1}^{+\infty} {\cal H}_k$ с ${\cal H}_k = L^2(\mathbb R, dx)$ и рассмотрим самосопряженный оператор (с естественной областью определения) $H = \oplus_{k=1}^{+\infty} H_k$ , где

{ЧАС}_{к} "=" \frac{1}{2 м} п_{к}^{2} + \frac{к}{2} {Икс}_{к}^{2}

$H_k:= \frac{1}{2m}P_k^2+ \frac{k}{2}X^2_k$ с

P_{k}

$P_k$ и

X_{k}

$X_k$ оператор импульса и положения в

H_{k}

${\cal H}_k$ и определить

ω = 2 π \sqrt{k / m}

$\omega = 2\pi\sqrt{k/m}$ . Оказывается, что

σ (H) = σ_{p} (H) = ω (n + \frac{1}{2})

$\sigma(H)= \sigma_p(H)= \omega(n + \frac{1}{2})$ ,

n = 0, 1, 2, \dots

$n=0,1,2,\ldots$ и вырождение счетно бесконечно для каждого

n

$n$ .

В принципе можно построить примеры с $\sigma(H)=\sigma_p(H)$ и вырождение несчетное, но в КМ гильбертово пространство предполагается сепарабельным, поэтому эти примеры не имеют большого физического смысла.

Во-вторых, вырождение отличается от количества собственных векторов, вырождение относится к размерности подпространства собственных векторов. Ясно, что если есть вырождение, то будет несчетное количество собственных векторов, даже если вы выберете только один из каждой группы собственных векторов, которые пропорциональны друг другу. Потому что в подпространстве более чем одного измерения существует несчетное количество направлений.
Да, действительно, я имел в виду число линейно независимых собственных векторов... Однако в случае (2) еще одна проблема касается того факта, что спектр непрерывен. На самом деле существует обобщенное понятие вырождения, связанное с версией теоремы о спектральном представлении (см., например, Дамфорд Шварц, кажется, второй том), которая действительна как для точечного, так и для непрерывного спектра. В моем примере (2) это понятие равно 2. Действительно, в случае (2) собственных векторов вообще нет только потому, что спектр непрерывен.
Спасибо за ваш ответ. Однако у меня пока нет математических инструментов, чтобы понять все, что вы написали. Так что в основном ответ да на все мои вопросы.
Что касается тождественного оператора, то при его разложении по собственному базису: например, в (2) вы бы включили дискретную сумму внутрь интеграла, суммируя по вырождениям?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

ГейзенбергсСобака

Любопытный

Ургье

Тимей

Любопытный

ГейзенбергсСобака

Ответы (1)

Вальтер Моретти

Тимей

Вальтер Моретти

ГейзенбергсСобака

ГейзенбергсСобака

Вальтер Моретти

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]

Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

Резольвентный оператор в QM

Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене