Соответствуют ли дифференциально-геометрические и физические соглашения для ковариантных производных?

В дифференциально-геометрической постановке ковариантная производная может быть определена как карта ∇ Икс : Г ( Т М ) → Г ( Т М ) , для любого векторного поля Икс е Г ( Т М ) , удовлетворяющие некоторым условиям. Другими словами, для любого векторного поля он отображает векторные поля в другие векторные поля. Затем это определение легко распространяется на отображения между произвольными тензорными полями. Учитывая местную основу { ∂ я } я вокруг некоторых п е М , его можно охарактеризовать с помощью символов Кристоффеля как

(1) ∇ я ∂ Дж ≡ ∇ ∂ я ∂ Дж "=" Г     я Дж к ∂ к .
Точно так же мы получаем локальные выражения, такие как
(2) ∇ я Д "=" ∇ я ( Д Дж ∂ Дж ) "=" ( ∂ я Д Дж + Д ℓ Д к Г   ℓ к Дж ) ∂ Дж .

Все идет нормально. Мое замешательство возникает при попытке сопоставить это с обозначениями, используемыми в более физических контекстах. Например, рассмотрим эти конспекты лекций ( [29:46] на youtube ). Здесь они обозначают ковариантный базис как С → α , и запишите символ Кристоффеля как

(3) Г   α β γ "=" С → γ ⋅ ∂ β С → α .
При написании этого они предполагают, что имеют дело со встроенными поверхностями, поэтому использование стандартной производной по-прежнему имеет смысл, и я могу сопоставить это выражение с (1), предполагая, что ковариантная производная является проекцией стандартной производной на касательную поверхность .

Однако из (3) они получают

(4) С → γ ⋅ ( ∇ α С → β ) "=" С → γ ⋅ ( ∂ α С → β − Г   α β ю С → ю ) "=" 0.
Теперь это кажется прямо противоположным (1), поскольку С → α в (4) должно соответствовать локальному базису касательного пространства, ∂ я , в 1). В самом деле, следуя этим обозначениям, ∇ α С → β нормальна к поверхности, что кажется прямо противоположным определению ковариантной производной в (1), объекту, отображающему касательные векторы в касательные векторы. Так что дает? Почему эти два обозначения кажутся контрастными? Есть ли более формальный способ понять, каким именно объектом является ковариантная производная в последнем соглашении?

Под «вложенными поверхностями» вы подразумеваете многообразие, вложенное в евклидово пространство? Кроме того, под «стандартной производной» вы подразумеваете каноническую связь в евклидовом пространстве, возникающую в результате естественного изоморфизма?
@VincentThacker Я не совсем уверен, как формализовать идеи, лежащие в основе (3) и (4) здесь; то есть, де-факто , часть того, о чем я здесь спрашиваю, я думаю. Насколько я понимаю, «встроенный» понимается так, как вы говорите, да; «стандартная производная» должна означать производную по направлению, взятую в пространстве вложения (что, я думаю, также совпадает с тем, что вы говорите). Итак, что я пишу с ∂ α С → β здесь
Хорошо, ваше уравнение (4) явно неверно. В общем случае нет никаких причин для того, чтобы ковариантная производная вектора имела нулевое скалярное произведение со всеми базисными векторами. Это будет верно только в том случае, если это нулевой вектор (или нормаль к поверхности). Либо запись неверна, либо вы перепутали величины, определенные на многообразии, с величинами, определенными в объемлющем (евклидовом) пространстве.
@VincentThacker, я тоже так понимаю. На самом деле, в связанных лекциях говорится, что ∇ а С → б нормальна к поверхности, что кажется прямо противоположным ковариантной производной как объекту, который по определению дает касательные векторы на выходе. Это заставляет меня думать, что в этом контексте есть другой способ понять «ковариантную производную», о чем я и спрашиваю. Тем не менее, я видел эти правила того, как ∇ α действует на объекты с повышенными/пониженными индексами довольно часто в физической литературе, и формулы типа (4) кажутся прямым следствием тех

Ответы (1)

Я прочитал ту же книгу, что и та, на которую вы ссылаетесь, и могу сказать, что в ней есть некоторые технические неточности, которые постепенно приводят к путанице, которую вы сейчас испытываете. Постараюсь перечислить их по порядку. Я буду обозначать стандартный ковариантный базис через е я , и я буду использовать греческие буквы для поверхностных индексов и английский алфавит для объемлющих (евклидово пространство) индексов.

  1. Не существует такого понятия, как «контравариантные базисные векторы». То, что в книге называется «контравариантными базисными векторами», на самом деле является базисными ковекторами. Другими словами, это одноформы, представляющие собой линейные отображения векторов в скаляры. Поэтому такие выражения, как

    е я ⋅ е Дж "=" дельта Дж я
    неверны, потому что вы не можете взять скалярное произведение объекта, который даже не является вектором. Вместо этого правильное выражение должно быть
    е я ( е Дж ) "=" дельта Дж я
    где одна форма е я действует на вектор е Дж . Все остальные выражения должны быть соответствующим образом изменены.

  2. С самого начала в книге используется неверное определение ∇ я е Дж в евклидовом пространстве как

    ∇ я е Дж "=" ∂ е Дж ∂ Икс я − Г я Дж к е к "=" 0
    что является правильной оценкой, но неправильным определением. Книга лечила е Дж как ( 0 , 1 ) компонента тензора с меньшим индексом, что, безусловно, неверно, поскольку е Дж это вектор, который ( 1 , 0 ) .
    Правильный способ определения ковариантной производной для вектора в "=" в я е я является
    ∇ я в м "=" ( ∇ в ) ( е я , е м ) "=" ( ∇ в ) я м "=" ∂ в м ∂ Икс я + Г я к м в к ∇ я в "=" ( ∂ в м ∂ Икс я + Г я к м в к ) е м
    где необходимо отметить, что в м и в к являются компонентами _ в которые являются числами . Таким образом, правильный способ расчета ∇ я е Дж это позволить в "=" е Дж в приведенном выше определении. Таким образом, все компоненты равны нулю, кроме Дж -й, равный единице. Все они постоянны, поэтому первый член ∂ в м / ∂ Икс я равен нулю. Применяя ту же логику ко второму члену, мы видим, что единственным ненулевым членом в сумме является Дж -th, который дает Г я Дж м ( 1 ) "=" Г я Дж м . Добавляя в основу из второй строки выше, мы имеем
    ∇ я ( е Дж ) "=" Г я Дж м е м "=" ∂ я е Дж
    что в точности соответствует частной производной. Это верно, потому что ковариантная производная (связь Леви-Чивиты) в евклидовом пространстве является просто частной производной, потому что ее аффинная природа обеспечивает канонический параллельный перенос. Это определенно не ноль, в отличие от того, что утверждает книга.

  3. Все вышеизложенное приводит к неверному утверждению, что ∇ α е β нормальна к поверхности. Это определенно не так. Поверхностная ковариантная производная ∇ α это просто евклидова частная производная по координате поверхности с α , с удаленным нормальным компонентом. Причина ошибки снова в том, что в книге использовалось неверное определение

    ∇ α е β "=" ∂ е β ∂ с α − Г α β γ е γ
    что приводит к неверному выводу о том, что ∇ α е β "=" 0 на поверхности. В общем, ∂ α е β живет в окружающем евклидовом пространстве и, следовательно, имеет компоненты как по нормали, так и по касательной к поверхности. Нормальная компонента задается второй фундаментальной формой я α β умножается на единичный вектор нормали н ^ , а тангенциальная составляющая есть поверхностная ковариантная производная ∇ α е β "=" Г α β γ е γ , что в точности аналогично правильному определению, которое я дал выше для евклидова пространства. Эта формула также точно согласуется с формулой на псевдоримановом многообразии (где не предполагается существование объемлющего евклидова пространства). Другими словами, мы имеем
    ∂ α е β "=" Г α β γ е γ + я α β н ^ "=" ∇ α е β + я α β н ^

Подробнее о первом пункте читайте в этом посте . Для получения дополнительной информации о том, почему определение книги неверно, см. этот пост . Наконец, для правильного вывода посмотрите это видео , которое очень ясно объясняет это.

Я не совсем понимаю первый пункт. В чем проблема определить дуальный базис для ковариантных базисных векторов (при условии, что у нас есть риманова метрика)? Я могу понять, что можно использовать и дифференциальные 1-формы, но почему мы не можем также определить «контравариантные базисные векторные поля» через е α "=" г α β е б с г α β компоненты обратной метрики?
ваш второй пункт резонирует, хотя. Насколько я понимаю, вы говорите, что «ковариантные базисные векторы» все же в конечном счете являются векторными полями, и поэтому ковариантная производная должна действовать на них по стандартным правилам (т.е. со знаком плюс)
@glS См. сообщение, на которое я дал ссылку: physics.stackexchange.com/a/334230 и строки, выделенные НЕТ!. Мое первое замечание не имеет строгого отношения к вашему вопросу, но я просто хотел исправить некоторую путаницу, которую вызвала у меня книга. Во всяком случае, на многообразиях, насколько мне известно, в качестве стандарта используется одноформенное определение контравариантного базиса.
@glS Да, это правильно. Кто-то еще столкнулся с тем же неправильным выражением, как показано в третьем уравнении в этом посте ( physics.stackexchange.com/q/281590 ). Дело в том, что в евклидовом пространстве существует только один тип производной (обычная частная производная), потому что аффинная связь задается тривиально. Просто на поверхности, вложенной в это пространство, мы берем производную по линии координат поверхности с α как мы обычно делаем, и разделяем это на тангенциальную и нормальную составляющие.
@bolbteppa Я полностью осознаю то, что вы только что сказали. Я говорю о том, что я в е я не то же самое, что ковариантный индекс тензорной компоненты. е я наверняка не является ( 0 , 1 ) тензор. Это вектор с компонентами и базисом, как и у других векторов. На коллекторах, е я по определению ∂ / ∂ Икс я .
@bolbteppa Что касается вашего первого пункта, в "=" в я е я является вектором, но в я е я является ковектором. Это действительно не одно и то же. Вы можете доказать это, покормив в в метрику: г ( в ) "=" г я Дж е я ⊗ е Дж ( в к е к ) "=" ( г я Дж в Дж ) е я . Точно так же, чтобы поднять индекс, вы вводите ковектор в обратную метрику.
Мне интересно, можно ли это понять по-другому. Что, если мы определим ковариантную производную, которая уничтожает базисные векторы, так что ∇ я е Дж "=" 0 ? Таким образом, эта ковариантная производная будет иметь нулевые символы Кристоффеля относительно этого базиса, и ∇ я ( В Дж е Дж ) "=" ( ∂ я В Дж ) е Дж . В то же время при написании ∂ я ( В Дж е Дж ) "=" ( ∂ я В Дж ) е Дж + Г я к Дж В к е Дж , мы бы эффективно работали с другой ковариантной производной, той, что находится в плоском объемлющем пространстве, которая, таким образом, является просто производной по направлению
это означало бы, что Кристоффель Г я Дж к в этих выражениях Кристоффель характеризует объемлющую ковариантную производную, а не те, которые характеризуют то, что они записывают как ∇ . Если мы затем перейдем к изогнутому встроенному многообразию, это ∇ по существу устроен так, что ∇ я е Дж ортогонален вложенной поверхности, а остальные следует. Согласен, я бы не увидел ∇ я е Дж "=" 0 как следствие е Дж имеющих «ковариантные индексы», а скорее как определяющее свойство ∇ , который просто формально ведет себя так, как можно было бы наивно ожидать
@glS Я не совсем уверен, что ты пытаешься сказать. Если вы определяете ковариантную производную равной нулю на базисных векторах, вы, по сути, определяете ∇ ~ я е Дж "=" ∇ я е Дж − Г я Дж м е м "=" 0 , где ∇ ~ ваша "ковариантная производная" и ∇ является стандартной ковариантной производной. При беглом взгляде кажется, что ∇ ~ я е Дж даже не будет тензором, потому что Г я Дж м не является тензором. Поэтому нет смысла определять его таким образом, поскольку вся идея ковариантной производной состоит в том, чтобы отображать тензоры в тензоры.
@glS Я думаю, вы все еще не понимаете ключевую идею: в евклидовом пространстве ковариантная производная является частной производной, потому что касательное пространство в любой точке канонически изоморфно самому евклидову пространству. В этом весь принцип, благодаря которому мы можем складывать и вычитать векторы в разных точках и, в свою очередь, выполнять векторное исчисление в евклидовом пространстве. Таким образом, (неправильное) определение книги будет тривиально равным нулю везде. Так что на самом деле во всей этой ситуации есть только одна производная, которую я только что упомянул.
@glS Что касается поверхности, встроенной в окружающее евклидово пространство, помните, что любая координатная линия на поверхности также является линией в окружающем пространстве. Таким образом, «поверхностная ковариантная производная» — это просто тангенциальная составляющая производной по отношению к прямой.
почему вы говорите, что это недопустимая ковариантная производная? Позволять ∇ — стандартная ковариантная производная в плоском объемлющем пространстве, т. е. равная стандартной производной по направлению. Позволять ∇ ′ — стандартная индуцированная ковариантная производная во вложенной поверхности, такая, что ∇ я е Дж "=" Г я Дж к е к для е я касательные векторы к поверхности. Теперь определите соединение ∇ ″ ≡ ∇ − ∇ ′ . Затем ∇ я ″ е Дж всегда ортогонален встроенной поверхности (таким образом, равен нулю, если она также плоская). Я говорю, что они используют ∇ ″ .
@glS Я понимаю, что ты пытаешься сказать сейчас. Да ваше определение просто нормальный компонент я α β н ^ . Но обратите внимание, что это имеет смысл только на поверхности, встроенной в евклидово пространство. Применение этого к невложенному многообразию будет тривиально равно нулю, поскольку для начала нет объемлющего пространства и нормальной компоненты.
Соответствуют ли дифференциально-геометрические и физические соглашения для ковариантных производных?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v