Сравнение формулировок теоремы Нётер

Оказывается, проще сравнивать обе версии, если использовать функциональные изменения$\bar{\delta}\phi(x):=\phi'(x)-\phi(x)=\phi(x-\delta x)+\delta\phi(x-\delta x)-\phi(x)=-\delta x^\mu\partial_\mu\phi(x)+\delta\phi(x)$. Именно в терминах этих функциональных изменений написана первая версия теоремы Нётер. Вариант второй версии

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\left(\partial_\mu(\delta x^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\bar{\delta}\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu\bar{\delta}\phi\right),$$ как можно быстро проверить из формулы в вопросе, используя соотношение между$\delta$и$\bar{\delta}$(все это можно найти, например, в «Теории поля: современный учебник» Рамона).

В качестве первого замечания отметим, что принцип стационарного действия остается в силе даже при включении горизонтальных преобразований до тех пор, пока они обращаются в нуль.$\partial\Omega$. Действительно, в приведенном выше уравнении эти преобразования проявляются только через полную производную$\partial_\mu(\delta x^\mu\mathcal{L})$. Более того, в этом случае$\delta=\bar{\delta}$на$\partial\Omega$чтобы не было двусмысленности, следует ли просить$\bar{\delta}\phi|_{\partial\Omega}=0$или$\delta\phi|_{\partial\Omega}=0$.

В качестве второго замечания теперь можно включить возможность того, что действие изменяется через граничные члены. А именно, теперь теорема звучит так. Рассмотрите варианты$\delta x^\mu=\epsilon X^\mu$и$\bar{\delta}\phi=\epsilon G\phi$где$G$есть некоторый дифференциальный оператор (в отличие от$\mathcal{F}$в постановке вопроса выше, который вообще был матрицей). Тогда у нас есть

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\left(\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi\right)+\int_\Omega d^Dx\partial_\mu\epsilon\left(X^\mu\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ Теперь предположим, что всякий раз, когда$\epsilon$постоянно у нас есть$\delta S_\Omega(\phi)=\epsilon\int_\Omega d^Dx\partial_\mu F^\mu$. Затем $$\partial_\mu F^\mu=\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi.$$ (Примечание: обратите внимание, что последние два члена этого уравнения просто$\bar{\delta}\mathcal{L}$первой версии теоремы Нётер. Таким образом, включение горизонтальных изменений изменило граничный термин. Подробнее об этом мы скажем в конце.) Мы заключаем, что при произвольном$\epsilon$ $$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\partial_\mu F^\mu+\int_\Omega d^Dx\partial_\mu\epsilon\left(X^\mu\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ В заключение ограничимся$\epsilon$исчезает в начале координат. Тогда мы можем интегрировать по частям и получить $$\delta S_\Omega(\phi)=\int_\Omega d^Dx\epsilon\partial_\mu \left(F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi\right).$$ Аргумент теперь закончен, ограничиваясь$\phi$на оболочке. Действительно, в этом случае вариация должна обращаться в нуль для всех$\epsilon$исчезающие на границе. Как мы отмечали выше, это не портит наличие горизонтальных вариаций. Тогда по основной теореме вариационного исчисления имеем$\partial_\mu j^\mu=0$, где явно $$j^\mu=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi.$$

В качестве последнего замечания давайте прокомментируем, необходимы ли горизонтальные изменения или нет. Что ж, определенно вторая версия, в нашей нынешней версии, где мы допустили граничные термины, по крайней мере так же мощна, как и первая. Первый фактически восстанавливается установкой$X^\mu=0$. В частности, тензор энергии-импульса можно восстановить, положив$X^\mu=0$и$G=-\partial_\nu$, как в первом варианте, или настройка$X^\mu=\delta^\mu_\nu$и$G=-\partial_\nu$, как и в перспективе второй версии. Что еще более удивительно, оказывается, что первая версия так же мощна, как и вторая. Действительно, предположим, что выполнены условия для второго. В частности, у нас есть

$$\partial_\mu F^\mu=\partial_\mu(X^\mu\mathcal{L})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi,$$ для некоторых$F^\mu$. Затем определите$\tilde{F}^\mu:=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}$. Тогда у нас есть $$\partial_\mu \tilde{F}^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi,$$ Более того, у нас есть $$j^\mu=F^\mu-X^\mu\mathcal{L}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi=\tilde{F}^\mu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi.$$ Таким образом, мы могли бы восстановить тот же нётеровский ток, если бы установили$X^\mu=0$. Мы заключаем, что горизонтальные вариации не являются необходимыми для получения течений Нётер, если мы желаем иметь вариации действия граничными условиями. С другой стороны, хотя в данный момент я не имею в виду никаких примеров, по-видимому, никакую граничную вариацию вообще нельзя скрыть как пространственную вариацию (положив$X^\mu=-F^\mu/\mathcal{L}$вообще как-то странно это делать.

Подводить итоги:

Рассмотрим бесконечно малую вариацию$\phi\mapsto\phi'=\phi+\epsilon G\phi$. Мы говорим, что это бесконечно малая симметрия нашей системы, если для постоянной$\epsilon$у нас есть это

$$\delta S_\Omega(\phi):=S_\Omega(\phi')-S_\Omega(\phi)=\epsilon\int_\Omega\partial_\mu F^\mu$$ для некоторых$F^\mu$. Важно отметить, что в целом$F^\mu$будет зависеть от$\phi$и это должно быть верно для любого$\phi$независимо от того, находится он в оболочке или нет. Первое нетривиальное утверждение состоит в том, что$F^\mu$удовлетворяет указанному выше условию тогда и только тогда, когда $$\partial_\mu F^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}G\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu G\phi.$$ (Мы оставляем в качестве интересного замечания, что всякий раз, когда преобразование$\phi\mapsto\phi'$происходит от горизонтального преобразования$x\mapsto x'=x+\epsilon X^\mu$, обычно можно взять$F^\mu=-X^\mu\mathcal{L}$. Но в этом вся роль, которую играют горизонтальные вариации.)

Теперь предположим, что у нас есть бесконечно малая симметрия, как указано выше. Для любого$F^\mu$что свидетельствует о том, что$\phi\mapsto\phi'$является симметрией, ток

$$j^\mu=F^\mu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}G\phi$$ сохраняется.

Наконец, обычно рекомендуется вычислить этот ток, вычислив$\delta S_\Omega(\phi):=S_\Omega(\phi')-S_\Omega(\phi)$для произвольно меняющегося$\epsilon$. Можно прочитать о$F^\mu$(а пока проверьте, действительно ли это симметрия) и$j^\mu$из формулы

$$\delta S_\Omega(\phi)=\int d^D x\epsilon\partial_\mu F^\mu+\int_\Omega d^D x\partial_\mu\epsilon (F^\mu-j^\mu).$$