Стабильность двухполюсного усилителя с отрицательной обратной связью

1) Является ли это определение стабильности общим? Когда я изучал теорию управления, я видел другое определение устойчивости, а именно: стабильная система = система, в которой ограниченный вход подразумевает ограниченный выход. Я не вижу никакой связи между этим определением и колебательным поведением.

Связь очень легко увидеть. Просто напишите полную передаточную функцию с точки зрения усиления без обратной связи.

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{A(s)}{1+A(s)\beta}.$$ Ясно, что если коэффициент усиления контура$L(s) = A(s)\beta = -1$, то выход не ограничен. Это возможно только если$|L(s)| = 1$и$\angle L(s) = 180^\circ$. Как вы знаете, для систем второго порядка такое отставание по фазе невозможно.

2) Теперь снова рассмотрим приведенный выше анализ двухполюсного усилителя. В книге говорится, что усилитель всегда стабилен, потому что все полюса замкнутой системы имеют отрицательную действительную часть. Это верно, но они могут иметь и мнимую часть, что означает колебание. Это противоречит его определению стабильности.

Рассмотрим систему второго порядка со следующей передаточной функцией:

$$H(s) = \frac{1}{(s-p_1)(s-p_2)}$$ Соответствующий отклик во временной области (естественный отклик) будет иметь вид: $$h(t) = A_1e^{p_1t} + A_2e^{p_2t}$$ Здесь,$A_1$и$A_2$являются константами.
Если$p_{1,2} = \alpha \pm j\omega$, то ответ принимает вид: $$h(t) = A_1e^{\alpha t}e^{j\omega t} + A_2e^{\alpha t}e^{j\omega t}$$ Таким образом, если полюса лежат в левой половине s-плоскости, что означает$\alpha < 0$, отклик со временем затухает, что приводит к затухающим колебаниям. Таким образом, в зависимости от затухания$\alpha$, система перестает колебаться через некоторое время.
Если полюса лежат в правой половине s-плоскости, это означает$\alpha > 0$, отклик со временем растет, что приводит к усилению колебаний.
Если полюса лежат в правой половине s-плоскости, это означает$\alpha = 0$, отклик является постоянным синусоидальным выходным сигналом, а колебания сохраняются во времени. Здесь система ведет себя как осциллятор. РЕДАКТИРОВАТЬ
Чтобы произошли колебания, необходимо выполнить критерии Баркгаузена. На рисунке ниже (предположим, что возмущение равно нулю), если вы путешествуете по петле, вы получите усиление$-A\beta = -L(s) = 1$. Добавлена ​​еще одна инверсия за счет разностной операции на входе. Таким образом, мы имеем разность фаз$360^\circ$вокруг петли и величина усиления равна единице. Это условие установившихся колебаний.

До 1: термин «ограниченный ввод» имеет крайний случай: нет внешнего ввода. Это относится к колебательной системе. Следовательно, применимо определение (BIBO).

К 2: Когда пара полюсов замкнутой системы имеет отрицательную действительную часть, все возможные колебания затухнут (из-за члена exp(-sigma*t)). Говоря о колебаниях, необходимо различать

• непрерывные (установившиеся) колебания с полюсами на оси Im (реальная нулевая часть)

• нарастающие амплитуды колебаний (полюса с положительной действительной частью)

• уменьшающиеся амплитуды колебаний (полюса с отрицательной действительной частью)

Отвечая только на часть 1, существует множество определений устойчивости, и каждое из них имеет разные цели. У вас может быть стабильность BIBO, о которой вы упомянули, когда ограниченный ввод приводит к ограниченному выводу. Но в случае, если у вас есть полюса на воображаемой оси, это будет означать, что при правильном выборе$u(t)=\sin(\omega t)$, ограниченный ввод, вы сможете получить вывод$y(t)$что безгранично растет. Но есть разные определения, например

• Асимптотическая устойчивость: как$t \rightarrow \infty$система пойдет на$x \rightarrow 0$, независимо от начальных условий.
• Устойчивость по Ляпунову, или Внутренняя устойчивость: если систему запустить в каком-то регионе$\|x\|<\epsilon$то он никогда не вырастет за пределы некоторых$\|x\|<\delta$с$\epsilon \leq \delta$.
• Предельная устойчивость: аналогична ляпуновской, но обычно применяется к линейным системам. Значит, система не будет расти неограниченно, т. е. как$t \rightarrow \infty$система не пойдет$\|x\| \rightarrow \infty$. Может показаться равным асимптотическому, но это не значит, что как$t \rightarrow \infty$система пойдет на$x \rightarrow 0$, только то$\|x\|<r$быть ограниченным некоторым положительным числом$r$.