SU(2)SU(2)SU(2) Инвариантный лагранжиан

Идея$C$матрица это если$\Phi$трансформируется как$\Phi\rightarrow U\Phi$, где$U$является некоторым представлением SU(2), то также$\Phi^c\rightarrow U\Phi^c$. Вы можете решить это самостоятельно, используя$\epsilon$матрица для случая фундаментального представления.

Теперь, взяв комплексное сопряжение, мы имеем$\Phi^\dagger\rightarrow \Phi^\dagger U^{-1}$(аналогично для$\Phi^c$), и так

$$\Phi^\dagger \tau^a \Phi\rightarrow \Phi^\dagger\left( U^{-1}\tau^a U\right)\Phi=R(U)^a_{\,b}\Phi^\dagger\tau^b\Phi$$ где$R(U)$является присоединенным представлением SU(2).

Так что термины как вы их написали не те$SU(2)$инвариантны, они находятся в присоединенном представлении. Но если вы заглянете в статью, они свяжутся с другим множителем в присоединенном представлении (с индексом$a$), поэтому весь член с обоими множителями инвариантен.

Они подавляют индексы SU(2). Если это ваш первый проход, вы имеете полное право запутаться. Я буду очень точным с моими индексами, чтобы вы могли видеть основную структуру.

Теорема: Произведение двух представлений$\phi, \psi$SU(2) инвариантен тогда и только тогда, когда их индексы стягиваются с инвариантным тензором (того же представления) SU(2).

Это немного многословно, но следующее должно прояснить. Есть два инвариантных тензора 2 rep$SU(2)$(1)$\epsilon_{ab}$и (2)$\delta_{\bar{a} b}$. Черта обозначает индекс, который преобразуется при комплексно-сопряженном представлении.

Теперь давайте выпишем ваши два вектора$\Phi$, и$\Phi^\dagger$явно с индексами. это будет выглядеть

$$\Phi \sim \Phi_a \qquad \Phi^\dagger \sim \Phi^\dagger_\bar{a}$$

Вот у меня проблема с вопросом : Как сформулирован вопрос, это просто неправда в целом. Как упоминалось в первом абзаце «теоремы», единственными двумя инвариантными сокращениями двух дублетов SU (2) являются

$$\Phi^\dagger_\bar{a} \delta_{\bar{a} b} \Phi_b \sim \Phi^\dagger \Phi$$

и

$$\Phi_a\Phi_b \epsilon_{ab} \sim \Phi \Phi$$ .

Последнее называется синглетным представлением, где справа я написал обозначение «подавленного индекса» каждого сокращения.

Возможное решение : я предполагаю , что статья предполагает, что$\Phi$преобразует в присоединенное представление SU (2) (также называемое 3 ). Если это так, то действительно сокращение между 3 и другим 3 , данное выражением

$$\Phi^\dagger_{i} T^a_{ij} \Phi_j$$

где$T^a$является генератором основы SU (2), действительно является инвариантом присоединенного представления, если SU (2). Если вы посмотрите на калибровочно-ковариантную производную КХД, это точно то же самое (за исключением SU (3)).

Вывод : два разных инварианта, о которых вы говорите, предназначены для двух разных представлений SU (2). Действительно, почти всякий раз, когда вы видите$\Phi^\dagger T^a \Phi$они почти всегда говорят о присоединенном к SU (3) (8 SU (3)), а не о 3 SU (2). Но дело в том, что два написанных вами инварианта соответствуют двум разным представлениям SU (2) (основному и присоединенному) и поэтому никогда не могут появиться в одном и том же лагранжиане (если только вы не снабдите своих представителей обоими индексами ), вы только увидеть их в различных теориях.