Суперпозиция в квантовой механике

У меня были те же концептуальные проблемы, что и у вас, когда я изучал QM. Позвольте мне немного порассуждать о философии, которая позволила мне, наконец, двигаться дальше и сосредоточиться на математических вещах, которые действительно имеют значение :)

Квантовые состояния — это лучи в гильбертовом пространстве (или точки в проективном гильбертовом пространстве и т. д.). Все состояния имеют один и тот же физический смысл: все они существуют, и ни одно из них не является чем-то особенным.

Наблюдаемая информация закодирована в структуре произведения Гильберта, определенной в пространстве состояний. На самом деле, единственный разумный вопрос, который можно было бы задать относительно определенной квантовой системы, имеет следующую форму:

Что такое конфликт (квадрат модуля внутреннего продукта)$\left|\left<a|b\right>\right|^2$двух заданных состояний$\left|a\right>$и$\left|b\right>$равно?

Но состояния — это довольно абстрактные звери, и без точного способа, с помощью которого мы могли бы идентифицировать состояния с реальным опытом (или экспериментальными установками и т. д.), ни одно из таких вычислений не будет иметь никакого смысла.

Вот тут-то и появляются наблюдаемые, которые в QM кодируются самосопряженными операторами. Каждому такому оператору мы можем поставить в соответствие спектр собственных значений и собственных состояний.

Я собираюсь использовать здесь картину Гейзенберга, так что эти операторы меняются со временем. Следовательно, оператор во время$t _1$не то же самое , что оператор, соответствующий той же величине в момент времени$t _2 > t _1$.

Затем мы можем задать физический вопрос, а именно:

Я точно знаю, что у моей частицы была координата$x = x_1$вовремя$t = t _1$. В QM это означает, что я точно знаю, что система находится в таком состоянии$\left|a\right>$что это собственное состояние оператора положения в момент времени$t _1$с соответствующим собственным значением:

$$\hat{x}(t _1) \left| a \right> = x _1 \left| a \right>.$$ Какие возможные результаты я могу получить при измерении положения частицы во времени? $t _2$?

И у QM есть элегантный ответ на этот вопрос. Поскольку система находится в состоянии$\left| a \right>$который в общем случае не является собственным состоянием оператора нового положения$x (t _2)$, я должен расширить его с точки зрения таких собственных состояний:

Если состояния правильно нормализованы (помните, что фактические состояния являются лучами, а не векторами в гильбертовом пространстве), то конфликты задаются квадратом модуля соответствующих коэффициентов:

Некоторые люди испытывают искушение искать более метафизически приятный смысл для этих столкновений. Согласно правилу Борна (которое, кстати, не имеет ничего общего с Джейсоном Борном), мы могли бы интерпретировать это столкновение как вероятность переживания состояния$\left| b \right>$в каком-то предстоящем измерении, учитывая, что мы начинаем с$\left| a \right>$.

Подводя итог: все состояния играют одну и ту же роль в QM, а именно: они просто существуют. Но в конечном итоге нас интересуют способы обозначения состояний (иначе как мы можем их различать и придавать им физический смысл?). Это делается через собственные состояния самосопряженных операторов.

Но операторы развиваются со временем. Поэтому, если мы, например, имеем состояние, являющееся собственным состоянием некоторого оператора в момент времени$t _1$, это суперпозиция (разных) собственных состояний (разных) операторов, соответствующих одной и той же величине, но в момент времени$t _2$.

Расширения состояний по базису выполняются, когда мы измеряем некоторую величину. Этот базис вовсе не произволен и состоит из собственных состояний самосопряженного оператора, соответствующего этой величине.

Это дает немного более общую формулировку ответа Hindsight. Наиболее прямолинейная интерпретация суперпозиций в квантовой механике обычно дается в контексте ортогональных базисов, которые уже содержат больше структуры, чем базисы Гамеля, упомянутые в комментариях. Для простоты давайте предположим исчисляемый базис$\{ | u_n \rangle \}_n$как и вы, и требуют, кроме того, чтобы он был ортонормирован,$\langle u_n | u_m \rangle = \delta_{nm}$. Также пусть$\hat{ O }$быть некоторой наблюдаемой, которая имеет$| u_n \rangle$-s как собственные состояния, так что его собственные значения равны$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$. Разложение нормализованного состояния$| \psi \rangle$как (уникальная) суперпозиция

с$c_n$комплексные числа, означает, что измерение$\hat{ O }$на$| \psi \rangle$будет производить выходное значение$\langle u_n | \hat{ O } | u_n \rangle$и выходное состояние$| u_n \rangle$с амплитудой$c_n$и вероятность$|c_n|^2$. На этом основании вообще говорят, что коэффициент$c_n$амплитуда состояния$| u_n \rangle$в состоянии$| \psi \rangle$, и что существует конечная вероятность$|c_n|^2$измерять состояние$| u_n \rangle$в состоянии$| \psi \rangle$.

Затем концепция распространяется на произвольные амплитуды$\langle \phi | \psi \rangle$для нормализованных состояний$| \phi \rangle$, так как при любом таком$| \phi \rangle$всегда можно построить ортогональный базис, содержащий его.