Существует ли более точная форма уравнения зеркала 1f=1u+1v1f=1u+1v\frac{1}{f}=\frac{1}{u} + \frac{1}{v}?

Здесь больше одного приближения. Некоторые относятся к зеркалам и линзам. Некоторые применимы к распространению света в целом. Линзы более распространены, чем изогнутые зеркала. Гораздо больше внимания уделялось дизайну линз, чем дизайну зеркал. Но техники похожи.

Во-первых, приближение малого угла предполагает, что углы настолько малы, что не имеет значения, какое из этих расстояний вы используете. Это работает для параксиальных лучей, которые очень близки к главной оси. Это лучи, которые определяют фокусное расстояние. Так$1/f = 1/u + 1/v$правильно как есть.

Для непараксиальных лучей необходимо проследить путь луча через систему. Всякий раз, когда луч попадает на поверхность линзы или зеркала, вы вычисляете место, куда он попадает, и новое направление луча.

Сложные линзы разрабатывались дольше, чем были доступны компьютеры. Если вы трассируете лучи через систему вручную, вы трассируете как можно меньше лучей и используете самое простое приближение, которое является достаточно точным.

Расчеты можно упростить с помощью приближения тонкой линзы. Фокусное расстояние линзы можно рассчитать по радиусам поверхностей, показателю преломления и толщине в центре. Для многих линз толщина оказывает небольшое влияние и ею можно пренебречь. Линза рассматривается как плоскость. u и v измеряются параллельно главной оси плоскости.

Для большей точности толщина имеет значение. u и v измеряются параллельно оси до определенных точек внутри линзы. Точки находятся на главных плоскостях линзы.

Для трассировки лучей приближение малого угла недостаточно. До появления компьютеров люди часто использовали степенные ряды.

$$sin(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - ...$$

приближение

$$sin(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{3!}$$

был достаточно точен для многих целей. Используя это, вы обнаружите, что параксиальные лучи ведут себя так, как предсказывает более простое приближение, но многие другие лучи не сфокусированы в эту точку. Эти неудачи при фокусировке в точку называются аберрациями объектива.

Используя это приближение, люди идентифицировали так называемые аберрации 3-го порядка. Например, сферическая аберрация — это неспособность лучей, параллельных оси, сфокусироваться в точку линзой или зеркалом со сферическими поверхностями. Парабола не имеет сферической аберрации. Кома — это несоответствие лучей, расположенных под углом, в одной точке.

Свет имеет смесь длин волн. Показатель преломления стекла и других материалов зависит от длины волны. Это значит, что$1/f = 1/u + 1/v$, но для каждой длины волны необходимо использовать разные значения f. Или, при фиксированном u, v различно для каждой длины волны. Это называется хроматической аберрацией. Зеркала не имеют этой аберрации.

В современных программах проектирования объективов нет необходимости использовать приближение третьего порядка для$sin(\theta)$. Тем не менее, они должны сообщать об отклонениях в своих традиционных формах.

Тема предсказания распространения света лучами называется геометрической оптикой. Для сложных линз с несколькими элементами могут быть выбраны материалы, минимизирующие хроматическую аберрацию, а кривые могут быть выбраны для минимизации других аберраций.

Но свет — это волна. Волны рассеиваются. Если свет проходит через точечное отверстие, вы получаете центральное яркое пятно, окруженное серией ярких и темных колец. Линзу или зеркало можно представить как большое отверстие. Даже когда геометрическая оптика предсказывает, что все лучи сфокусированы в идеальной точке, дифракция означает, что это действительно будет пятно. Размер пятна определяется диаметром объектива или зеркала. Для круглой линзы в воздухе диаметр пятна равен

$$d_{spot} = 1.22 \lambda f/d_{lens}$$

Для камеры это ограничивает резкость изображения. Для телескопа или микроскопа он ограничивает расстояние, при котором можно разрешить два объекта. Для лазера он ограничивает интенсивность фокального пятна.

Оптические системы, в которых лучевые аберрации не превышают дифракционные, называются дифракционно-ограниченными.

---

Этого достаточно для большинства целей. Но если вы не хотите никаких приближений, есть еще кое-что, что следует учитывать. Все зависит от того, что вас интересует и насколько точным вы хотите быть.

Например, иногда имеет значение поляризация. Светоделитель представляет собой частично отражающее зеркало. Обычно он устанавливается под углом 45 градусов, так что половина лазерного луча отражается вбок, а половина проходит. Два луча поляризованы.

Поглощение иногда имеет значение. Типичный мощный промышленный CO2-лазер имеет мощность луча 100 Вт. Если 0,1% поглощается линзой или поверхностью зеркала, линза или зеркало нагреваются. Это может изменить форму и расфокусировать луч. Или может треснуть линза. Медные зеркала иногда используются вместо линз, потому что их легче охлаждать.

Также необходимы хорошие антибликовые покрытия. Неожиданные отражения могут попасть в фокус и вызвать пожар.

Воздух рассеивает свет в зависимости от длины волны. Это небольшой эффект, но на больших расстояниях он делает небо голубым. LIGO — это большой, чрезвычайно точный оптический интерферометр, который недавно обнаружил гравитационные волны. Длина пути лазерного луча составляет 4 км. Рассеяние — одна из причин того, что лучи находятся в глубоком вакууме.

Когда свет попадает на движущийся объект, объект видит другую длину волны. Это называется доплеровским сдвигом. Свет, отраженный от движущегося зеркала, имеет длину волны, отличную от длины волны неподвижного зеркала. Молекулы воздуха, отскакивающие от зеркал в LIGO, слишком сильно двигали бы зеркала. Это еще одна причина, по которой лучи находятся в вакууме.

Дело в том, что «без приближений» означает больше, чем вы думаете.

Существует более общая (точная) формула для сферического зеркала. Эта формула была открыта HA Elagha и опубликована в журнале Оптического общества Америки в 2012 году. Статья имеет название: «Точные формулы трассировки лучей, основанные на нетригонометрической альтернативе закону Снелла». Эта формула имеет вид:

$$\dfrac{1}{R-S_0}+\dfrac{1}{R-S_1} = \dfrac 2R\sqrt{1-\left(\dfrac hR\right)^2}$$

где$S_0$и$S_1$- расстояния объекта и изображения от вершины зеркала соответственно. h — высота точки падения на зеркало, а$R$это радиус кривизны.