Существуют ли орбиты трех тел, с которых нельзя сбежать? Можем ли мы знать, не размножаясь навсегда?

Тут собственно два вопроса:

1. Существуют ли$n$-системы организма с долговременной стабильностью?
2. Можно ли априори показать, что третье тело (массивное или нет) ограничено или ускользает, не прибегая к численному моделированию?

1. Стабильность$n$-системы тела

Широко известно, что$n$системы организма «хаотичны», когда$n>2$. Однако это должно быть распаковано математически, чтобы быть полезным.

Есть несколько основных случаев:

• В устойчивой системе поведение возвращается к тому же равновесию даже при наличии малых возмущающих сил.
  • В метастабильной системе поведение стабильно, но не на самом низком возможном уровне энергии (для конкретного определения «энергии»).
• В нейтрально стабильной системе долгосрочное поведение изменяется небольшими возмущающими силами, но эта разница в поведении остается небольшой.
• В нестабильной системе на долговременное поведение системы сильно влияют возмущения. Небольшие изменения вызывают большие различия в долгосрочном поведении.

Настоящая дискуссия о нелинейной динамике выходит за рамки (если хотите, я настоятельно рекомендую «Нелинейную динамику и хаос» Строгаца), но, грубо говоря, «хаотическая» система — это нестабильная система. Однако неустойчивые системы также имеют тенденцию иметь по крайней мере несколько нейтрально стабильных областей. Многие также имеют стабильные регионы. Например, в общем случае множество Мандельброта (возможно, каноническая хаотическая система) повторяется$z_n:=z_{n-1}^2+c, ~~z_0=c$хаотично. Однако существует много устойчивых и нейтрально устойчивых случаев (например, тривиально,$c:=0$).

Итак, теперь, когда мы знаем, о чем говорим, как насчет стабильности$n$системы организма? Из вековых исследований мы знаем, что они хаотичны, но всегда ли они нестабильны?

Мгновенная мысль покажет, что$n$-системы тел имеют некоторые элементы нейтральной устойчивости: возмущения планетарных орбит обильные, но планеты не выбрасываются в бесконечность и не врезаются в Солнце постоянно! Однако эти возмущения имеют долгосрочные последствия: действительно, астрофизики делают выводы о планетарной науке, читая подсказки древних возмущений, записанные в изменениях орбит, которые сохраняются сегодня.

Это говорит нам о том, что$n$системы тел неустойчивы, с участками нейтральной устойчивости . Орбиты принципиально хаотичны , но в некоторых ситуациях поведение может быть более предсказуемым (хотя и подвержено небольшим долговременным изменениям из-за небольших возмущений).

2. Останется ли [некоторое начальное условие] ограниченным?

Математических методов, позволяющих однозначно ответить на этот вопрос, не существует. Действительно, считается, что охарактеризовать долгосрочное поведение хаотических систем за пределами грубой устойчивости практически невозможно. Например, не существует возможного алгоритма конечного времени для правильного предсказания долгосрочного поведения произвольного$c$в приведенном выше примере множества Мандельброта во всех случаях — последовательность$z_k$s, которые уместно называются «орбитами».

Однако это пораженчество, и было бы заблуждением сказать, что ничего нельзя сделать.

Самый простой случай — посмотреть на полную орбитальную энергию. Это инвариантно, если пренебречь столкновениями и внешними силами. Для случая двух тел это можно выразить в знаменитом уравнении vis-viva , но закон сохранения энергии справедлив и для любого числа тел.

Достаточное условие для того, чтобы система оставалась ограниченной, состоит в том, чтобы представить себе, что произойдет, если одно тело каким-то образом получит всю орбитальную энергию (представьте: все точки в начале координат; все тела неподвижны, кроме одного). Если орбитальная энергия этого тела меньше энергии гравитационной связи, связывающей его с остальной системой, а это верно для любого выбранного таким образом тела, то ни одно тело не сможет убежать, и система останется ограниченной. Однако обратное неверно: даже если тело может убежать, это не означает, что система обязательно неограничена.

Чтобы проанализировать этот случай, мы обратимся к различным частным случаям , которые были придуманы на протяжении многих лет.

Большинство конфигураций, таких как центральная конфигурация , нестабильны: малейшее возмущение, и система переходит в неустойчивое поведение. В то время как долговременное поведение отдельного элемента хаотической системы в области неустойчивости вообще нельзя предсказать — в конце концов, это и означает «хаотично» , — трудно сказать, что произойдет. Однако на практике кажется, что тела в конечном итоге будут выброшены, пока не останется только два (или одно).

Эвристически это имеет некоторый смысл. Гравитация помогает передавать энергию от одного тела к другому; поскольку орбиты по существу непредсказуемы (читай: «случайны») в$n$В системе тел тела распределяют доступную энергию фактически случайным образом до тех пор, пока одно из них не получит достаточно энергии, чтобы избежать связывающей энергии других. Система иногда будет проходить через области нейтральной стабильности (такие как наша Солнечная система прямо сейчас), которые могут быть относительно долгоживущими, но в конечном итоге станут нестабильными. Это не доказательство, но оно описывает качественное поведение большинства$n$-системы тел (и является мотивировкой указанного выше достаточного условия ограниченности).

Однако есть несколько других конфигураций, таких как конфигурация в виде восьмерки, которые на самом деле (мета) стабильны в пределах небольшого региона:

                                                                 ^{(кадр из анимации по ссылке выше)}

Теоретически эта орбита стабильна навсегда и никогда не будет демонстрировать хаотическое поведение, если только ее не потревожить — и потревожить значительно — извне.

Заключение

Итак, TL;DR: существует несколько примеров систем из трех тел, которые являются (мета)стабильными (т.е. устойчивыми к небольшим возмущениям в течение длительных периодов времени). Однако в большинстве случаев трехкорпусная (или$n$-тело) в лучшем случае нейтрально устойчивы (т. е. малые возмущения имеют продолжительный, но не дестабилизирующий эффект), а для большинства начальных условий нестабильны (т. е. малые возмущения имеют продолжительные драматические последствия), причем первые со временем становятся вторыми. .

Для вопросов ограниченности, помимо простого анализа орбитальной энергии, знания о нестабильности системы недостаточно, чтобы сказать, что она неограничена (хотя, вероятно, так оно и есть).

Характеристика поведения таких систем за пределами этого вообще находится где-то между «за пределами нашего знания» и «фактически невозможно».

Предположим, что три точки массы, ньютоновская гравитация и нет потерь.

Если мы также можем предположить отсутствие каких-либо других возмущений и идеальное размещение тел в начальных условиях, то розетка Клемперера из трех тел - три тела одинаковой массы в равностороннем треугольнике с любыми осесимметричными начальными скоростями удобно ниже барицентрической скорости убегания - должна оставаться стабильной.

Я считаю, что при заданных точечных массах, бесконечно малых возмущениях и бесконечном времени все конфигурации должны вести к побегу, но пара партнеров, вращающихся близко друг к другу, плюс третий, вращающийся далеко, могут вести себя как две независимые задачи двух тел в течение чрезвычайно длительных периодов времени.