Связь между числами Стирлинга первого рода и их абсолютным значением (возможна ошибка)

Question

Связь между числами Стирлинга первого рода и их абсолютным значением (возможна ошибка)

Математика
комбинаторика
числа Стирлинга
доказательство-объяснение

Новичок

Я изо всех сил пытаюсь понять что-то из своих конспектов лекций. Я приведу некоторые определения, а затем опубликую отрывок, смысл которого я не могу понять.

Определения:

Позволять $c(k, n)$ быть числом перестановок $\{ 1, \dots, k \}$ именно с $n$ циклы. Позволять $c(0, 0) = 1$ .

Позволять $s(k, n)$ — числа Стирлинга первого рода.

Выдержка:

Обсуждение:

Я думаю, доказательство того, что $c(k, n)$ являются коэффициентами разложения возрастающего факториала, довольно просто. С $s(k, n)$ - коэффициенты падающего факториала, я думаю, это означает, что $c(k, n) = \lvert s(k, n) \rvert$ потому что расширение $x^{(k)}$ должно быть таким же, как $(x)_k$ за исключением того, что все знаки минус становятся знаками плюс.

Я не понимаю часть о $c(k, n) = (-1)^{k + n} s(k, n)$ . В доказательстве я не понимаю, что за операция "заменить $x$ с $-x$ " есть. Я могу рассуждать примерно так:

\begin{aligned} \sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) {Икс}^{н} & "=" Икс (Икс + 1) \dots (Икс + к - 1) \\ "=" (- 1)^{к} (- Икс) (- Икс - 1) \dots (- Икс - к + 1) (тянуть - 1 от каждого из к условия) \\ "=" (- 1)^{к} (- Икс)_{к} (распознавание падающего факториала с - Икс) \\ "=" (- 1)^{к} \sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) (- Икс)^{н} \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{к} (- 1)^{к + н} с (к, н) {Икс}^{н}, \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{n = 0}^k c(k, n) x^n &= x(x + 1) \cdots (x + k - 1)\\ &= (-1)^k (-x)(-x - 1) \cdots (-x - k + 1) \text{ (pull } -1 \text{ from each of the } k \text{ terms)}\\ &= (-1)^k (-x)_k \text{ (recognizing the falling factorial with } -x)\\ &= (-1)^k \sum_{n = 0}^k s(k, n) (-x)^n\\ &= \sum_{n = 0}^k (-1)^{k + n} s(k, n) x^n, \end{align*}$

что завершает доказательство. Это правильно?

Я немного обеспокоен тем, что где-то есть ошибка, потому что, если вы посмотрите на Википедию, вы увидите следующее:

,

и я не понимаю, как примириться с наличием минуса в версии Википедии.

Я ценю любую помощь.

Ответы (1)

Связь между числами Стирлинга первого рода и их абсолютным значением (возможна ошибка)

Брайан М. Скотт · Answer 1

'Заменять $x$ к $-x$ ' просто означает замену $-x$ для $x$ в уравнении

\sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) {Икс}^{н} "=" {Икс}^{(к)} .

$\sum_{n=0}^kc(k,n)x^n=x^{(k)}\,.$

Когда вы это сделаете, вы получите

\begin{aligned} \sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) (- Икс)^{н} & "=" (- Икс)^{(к)} \\ "=" (- Икс) (- Икс + 1) \dots (- Икс + к - 1) \\ "=" (- 1)^{к} Икс (Икс - 1) \dots (Икс - к + 1) \\ "=" (- 1)^{к} (Икс)_{н} \\ "=" (- 1)^{к} \sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) {Икс}^{н} \\ "=" \sum_{н "=" 0}^{к} (- 1)^{к} с (к, н) {Икс}^{н} . \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{n=0}^kc(k,n)(-x)^n&=(-x)^{(k)}\\ &=(-x)(-x+1)\ldots(-x+k-1)\\ &=(-1)^kx(x-1)\ldots(x-k+1)\\ &=(-1)^k(x)_n\\ &=(-1)^k\sum_{n=0}^ks(k,n)x^n\\ &=\sum_{n=0}^k(-1)^ks(k,n)x^n\,. \end{align*}$

и

\sum_{н "=" 0}^{к} с (к, н) (- Икс)^{н} "=" \sum_{н "=" 0}^{к} (- 1)^{н} с (к, н) {Икс}^{н},

$\sum_{n=0}^kc(k,n)(-x)^n=\sum_{n=0}^k(-1)^nc(k,n)x^n\,,$

так $(-1)^nc(k,n)=(-1)^ks(k,n)$ для $n=0,\ldots,k$ , и поэтому $c(k,n)=(-1)^{k-n}s(k,n)=(-1)^{n+k}s(k,n)$ для $n=0,\ldots,k$ . Ваш расчет тоже работает.

Конфликта с Википедией нет. $s(n,k)=(-1)^{n-k}{n\brack k}$ :

(- 1)^{н - к} "=" (- 1)^{к - н} "=" (- 1)^{н + к},

$(-1)^{n-k}=(-1)^{k-n}=(-1)^{n+k}\,,$

с $n-k$ , $k-n$ и $n+k$ все имеют одинаковую четность.

Связь между числами Стирлинга первого рода и их абсолютным значением (возможна ошибка)

Новичок

Ответы (1)

Брайан М. Скотт

Тождество, включающее числа Бернулли и числа Стирлинга

Доказательство чисел Стирлинга первого рода

Комбинаторная интерпретация явной формулы для чисел Стирлинга второго рода

Каково комбинаторное доказательство формулы S(n,k)S(n,k)S(n,k) - чисел Стирлинга второго рода?

Комбинаторика с использованием средних

Как произносится числа Стирлинга второго рода {nk}{nk}{n\brace k}?

Комбинаторное доказательство ряда чисел Стирлинга и биномиальных коэффициентов

Повторение для qqq-аналог для чисел Стирлинга?

Числа Стирлинга второго рода на Multiset

О числе Стирлинга второго рода