Течение Нётера в QFT с вариациями, зависящими от положения?

Question

Течение Нётера в QFT с вариациями, зависящими от положения?

Квантовая спагеттификация

Настраивать

Рассмотрим отображение $F$ который принимает каждое очко $x$ на коллекторе $M$ к точке $x'$ на том же коллекторе. При таком отображении поле $\phi(x)$ оценивается в точку $x$ изменения в $\phi'(x)$ при оценке в той же точке $x$ на коллекторе или $\phi'(x')$ при оценке в отмеченной точке $x'$ . Действие перед отображением задается:

С "=" \int г^{Д} Икс л (ф (Икс), \partial_{мю} ф (Икс), Икс)

$S=\int d^Dx \mathcal{L}(\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x)$ в то время как после отображения:

С^{'} "=" \int г^{Д} {Икс}^{'} л (ф^{'} ({Икс}^{'}), \partial_{мю}^{'} ф^{'} ({Икс}^{'}), {Икс}^{'})

$S'=\int d^D x' \mathcal{L}(\phi'(x'), \partial'_\mu \phi'(x'),x')$ Я сосредоточусь здесь на случае КТП, имея в виду, что интегралы охватывают все пространство Минковского.

Теорема Нётер

Согласно теореме Нётер непрерывная симметрия, оставляющая действие неизменным:

Δ С "=" С^{'} - С "=" 0

$\Delta S=S'-S=0$ соответствует сохраняющейся величине.

Две формы течения Нётер

Я столкнулся с двумя формами тока Нётер (Пескин и Шредер, $\S$ 2.2):

\begin{matrix} (1) & {Дж}^{мю} (Икс) "=" \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта ф - {Дж}^{мю} \end{matrix}

$j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi)} \delta \phi - \mathcal{J}^\mu\tag{1}$ где

J^{μ}

$\mathcal{J}^\mu$ определяется отображением

L

$\mathcal{L}$ :

л (Икс) \mapsto л (Икс) + α \partial_{мю} {Дж}^{мю} (Икс)

$\mathcal{L}(x) \mapsto \mathcal{L}(x)+\alpha \partial_\mu \mathcal{J}^\mu(x)$ и (Гольдштейн, 3-е изд.,

§

$\S$ 13.7):

\begin{matrix} (2) & {Дж}^{ν} "=" (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} \partial_{о} ф - л {дельта}_{о}^{ν}) {Икс}^{о} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} Ψ \end{matrix}

$j^\nu =\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi \tag{2}$ Где

δ x^{ν} = ϵ X^{ν}

$\delta x^\nu=\epsilon X^\nu$ и

δ ϕ = ϵ Ψ

$\delta \phi=\epsilon \Psi$ .

Проблема с формой (1)

Рассмотрим случай расширения $x^\mu \mapsto (1+\delta\lambda )x^\mu$ затем:

л (Икс) \mapsto л (Икс) + дельта λ {Икс}^{мю} \partial_{мю} л

$\mathcal{L}(x) \mapsto \mathcal{L}(x)+\delta \lambda x^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$ здесь изменение в

L

$\mathcal{L}$ нельзя записать в виде точной дивергенции (изменится и показатель интегрирования). Поэтому это не кажется совместимым с (1).

Проблема с формой (2)

При выводе (2) получаем следующее выражение:

\begin{matrix} (13.147) & \int ϵ \frac{г}{г {Икс}^{ν}} ((\frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} \partial_{о} ф - л {дельта}_{о}^{ν}) {Икс}^{о} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} Ψ) г^{4} Икс "=" 0 \end{matrix}

$\int \epsilon \frac{d}{d x^\nu} \left(\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi\right)d^4x =0\tag{13.147}$ из этого Гольдштейн, кажется, делает вывод, что

\begin{matrix} (13.148) & \frac{г}{г {Икс}^{ν}} ((\frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} \partial_{о} ф - л {дельта}_{о}^{ν}) {Икс}^{о} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{ν} ф)} Ψ) "=" 0 \end{matrix}

$\frac{d}{d x^\nu} \left(\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}\partial_\sigma \phi-\mathcal{L} \delta^\nu_\sigma\right) X^\sigma-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \Psi\right)=0\tag{13.148}$ что, учитывая, что у нас есть фиксированный диапазон интегрирования (все пространство), я не вижу никаких причин, по которым это должно выполняться.

Вопрос

Мой вопрос заключается в том, какова наиболее общая форма тока Нётер, которая может иметь дело с такими вещами, как масштабирование? И оправданы ли мои два опасения выше?

Прахар

В (1) вы забываете преобразование

d^{d} x

$d^dx$ (

d

$d$ размерность пространства-времени). Под

x^{μ} \to (1 + δ λ) x^{μ}

$x^\mu \to ( 1 + \delta \lambda ) x^\mu$ , у нас есть

d^{d} x L \to d^{d} x (1 + d δ λ) (L + δ λ x^{μ} \partial_{μ} L = d^{d} x [L + δ λ \partial_{μ} (x^{μ} L)]

$d^dx {\cal L} \to d^d x ( 1 + d \delta \lambda) ( {\cal L} + \delta \lambda x^\mu \partial_\mu {\cal L} = d^d x [ {\cal L} + \delta \lambda \partial_\mu ( x^\mu {\cal L} ) ]$ .

Квантовая спагеттификация

@Prahar Хорошо, я думал, что это как-то связано с этим. Я предполагаю, что это означает, что вклад

(1 + d δ λ)

$(1+d\delta \lambda)$ входит в состав нового

L

$\mathcal{L}$ ? Должны ли мы поэтому определять известный лагранжиан

L^{'}

$\mathcal{L}'$ определяется как:

л^{'} "=" (1 + г \partial_{мю} (дельта {Икс}^{мю})) л (ф^{'}, \partial_{мю}^{'} ф^{'}, {Икс}^{'})

$\mathcal{L}'=(1+d \partial_\mu(\delta x^\mu))\mathcal{L}(\phi',\partial'_\mu \phi',x')$ и будет ли это относиться ко всем таким случаям?

Дитя Сатурна

Причина второго течения в том, что «

ϵ

$\epsilon$ является произвольным». Это обычное дело, когда мы просто устанавливаем значение, пропорциональное изменению внутри интеграла, равным нулю.

Прахар

@childofsaturn - это работает, только если "

ϵ

$\epsilon$ является произвольной функцией». Здесь это кажется произвольной константой, что, конечно, недостаточно хорошо.

Квантовая спагеттификация

@childofsaturn Я согласен с Прахаром. Из того, что я могу сказать

ϵ

$\epsilon$ должен быть постоянным.

Дитя Сатурна

@Прахар

ϵ

$\epsilon$ повышается до функции, зависящей от пространства-времени, при выводе тока Нётер (обычный прием)

Прахар

@childofsaturn - я знаю, о чем вы говорите, но этот вывод не тот, который используется здесь, в (1) или (2).

Ответы (1)

Течение Нётера в QFT с вариациями, зависящими от положения?

В (1) вы забываете преобразование $d^dx$ ( $d$ размерность пространства-времени). Под $x^\mu \to ( 1 + \delta \lambda ) x^\mu$ , у нас есть $d^dx {\cal L} \to d^d x ( 1 + d \delta \lambda) ( {\cal L} + \delta \lambda x^\mu \partial_\mu {\cal L} = d^d x [ {\cal L} + \delta \lambda \partial_\mu ( x^\mu {\cal L} ) ]$ .
@Prahar Хорошо, я думал, что это как-то связано с этим. Я предполагаю, что это означает, что вклад $(1+d\delta \lambda)$ входит в состав нового $\mathcal{L}$ ? Должны ли мы поэтому определять известный лагранжиан $\mathcal{L}'$ определяется как: $л^{'} "=" (1 + г \partial_{мю} (дельта {Икс}^{мю})) л (ф^{'}, \partial_{мю}^{'} ф^{'}, {Икс}^{'})$ $\mathcal{L}'=(1+d \partial_\mu(\delta x^\mu))\mathcal{L}(\phi',\partial'_\mu \phi',x')$ и будет ли это относиться ко всем таким случаям?
Причина второго течения в том, что « $\epsilon$ является произвольным». Это обычное дело, когда мы просто устанавливаем значение, пропорциональное изменению внутри интеграла, равным нулю.
@childofsaturn - это работает, только если " $\epsilon$ является произвольной функцией». Здесь это кажется произвольной константой, что, конечно, недостаточно хорошо.
@childofsaturn Я согласен с Прахаром. Из того, что я могу сказать $\epsilon$ должен быть постоянным.
@Прахар $\epsilon$ повышается до функции, зависящей от пространства-времени, при выводе тока Нётер (обычный прием)
@childofsaturn - я знаю, о чем вы говорите, но этот вывод не тот, который используется здесь, в (1) или (2).

Qмеханик · Answer 1

Пескин и Шредер (1) рассматривают только ситуации с чисто вертикальными преобразованиями, поэтому преобразование расширения горизонтального пространства-времени ОП не применяется . [Терминологию см., например, в моем ответе Phys.SE здесь .] См. также соответствующий пост Phys.SE.
Формула Гольдштейна (2) для затравочного тока Нётер $j^{\mu}$ справедливо для комбинированных горизонтальных и вертикальных преобразований. Полный ток Нётер $J^{\mu}=j^{\mu}- k^{\mu}$ имеет возможный срок улучшения $k^{\mu}$ в случае квазисимметрии .
ОП прав. Доказательство от (13.147) до (13.148) ошибочно/недостаточно, как написано у Гольдштейна. Закон сохранения Нётер (13.148), конечно, верен, но доказательство Гольдштейна первой теоремы Нётер неполно.

Течение Нётера в QFT с вариациями, зависящими от положения?

Квантовая спагеттификация

Прахар

Квантовая спагеттификация

Дитя Сатурна

Прахар

Квантовая спагеттификация

Дитя Сатурна

Прахар

Ответы (1)

Qмеханик

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Порождает ли теорема Нётер также величины, сохраняющиеся в пространстве?

Переводы и теорема Нётер

Путаница с теоремой Нётер

Сравнение формулировок теоремы Нётер

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Что означает параметр в теореме Нётер?