Теория струн и одна идея «квантовой структуры пространства-времени»

Вы можете начать с изучения действия Полякова для строки в плоской фоновой метрике.$\eta_{\mu\nu}$

$$S_P = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}$$ и вы обнаружите, что замкнутая струна содержит безмассовое возбуждение, отождествляемое с гравитоном. Искривленное пространство-время можно интерпретировать как когерентное состояние гравитонов (аналогия: конфигурация лазерного поля — это когерентное состояние фотонов), поэтому при возбуждении гравитонов мы должны рассматривать струну в искривленном пространстве-времени с метрикой $G_{\mu\nu}(X)$: $$S_\sigma = \frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu G_{\mu\nu}(X).$$ Теперь вы можете спросить, почему оправдано просто изменить метрику целевого пространства. Но если вы рассматриваете метрику, близкую к плоской, вы можете расширить $$G_{\mu\nu}(X)=\eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}(X)$$ куда $\chi_{\mu\nu}(X)$является небольшим возмущением. Для интеграла по путям на мировом листе это составляет $$Z=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_\sigma)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X)+\cdots\right)=\int \mathcal{D}X\mathcal{D}h\exp(-S_P)\left(1-V+\frac{1}{2}V^2\cdots\right)$$ где я обозначаю $$V=\frac{1}{4\pi \alpha '}\int d^2\sigma \sqrt{h}h^{ab}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \chi_{\mu\nu}(X).$$ За $\chi_{\mu\nu}=g_c \zeta_{\mu\nu}\mathrm{e}^{ik\cdot X}$это вершинный оператор для плоской гравитонной волны, но более общий $\chi$можно было бы рассмотреть. Один вершинный оператор $V$дал бы одно состояние гравитона, но вставив экспоненту, как здесь, $\exp(V)$, соответствует когерентному состоянию гравитонов, которое, возвращаясь назад в приведенных выше рассуждениях, соответствует изменению $$\eta_{\mu\nu} \rightarrow \eta_{\mu\nu}+\chi_{\mu\nu}=G_{\mu\nu}.$$ В заключение: записав действие струны в искривленном пространстве-времени, мы неявно ввели когерентное состояние гравитонов, так что фоновая искривленная метрика действительно построена квантованными гравитонами.

Если продолжить изучение сигма-модели$S_\sigma$, вы обнаружите, что требование конформной инвариантности (через изучение$\beta$-функция) заключается в том, что целевое пространство является плоским Риччи

$$\mathcal{R}_{\mu\nu}=0,$$ т.е. дает уравнения Эйнштейна в вакууме. Добавление поля Калба-Рамонда и дилатации к действию даст вклад в уравнения Эйнштейна.