Это упражнение 5.20 из ISM Джона Ли. В тексте говорится, что это просто наблюдение, но мне трудно доказать этот факт.
Предполагать является гладким многообразием и является погруженным подмногообразием. Покажите, что каждое подмножество то, что открыто в топологии подпространства, открыто и в заданной топологии подмногообразия; и обратное верно тогда и только тогда, когда встроен.
погруженное подмногообразие означает, что наделен топологией (назовем ее топологией подмногообразия) и гладкой структурой, в которой отображение включения представляет собой плавное погружение.
Поскольку топология подпространства является наиболее грубой топологией, в которой отображение включения непрерывно, а гладкие отображения непрерывны, отсюда следует первый факт. Однако я не уверен, как показать, что топология подмногообразия содержится в топологии подпространства, только если встроен.
является вложенным подмногообразием тогда и только тогда, когда включение является гладким вложением, но мы уже предполагаем, что является гладким погружением, поэтому является вложенным подмногообразием (в нашем заданном сценарии) тогда и только тогда, когда является топологическим вложением.
Хорошо, если вы немного распутаете определение, вы увидите, что является топологическим вложением тогда и только тогда, когда заданная топология подмногообразия на совпадает с топологией подпространства, исходящей из . Но мы находимся в ситуации, когда вы уже доказали, что топология подмногообразия более тонкая, чем топология подпространства, поэтому на самом деле две топологии согласуются тогда и только тогда, когда топология подпространства более тонкая, чем топология подмногообразия.
пользователь515010