Уравнение Шредингера в терминах уравнения Фоккера-Планка

Подсказки:

$\underline{(0) \Rightarrow (1)}$: Не пытайтесь выполнить все сразу. Делайте это медленно, в столько шагов, сколько вам нужно, чтобы быть уверенным, что вы правильно считаете и все понимаете. Хитрость заключается в том, чтобы интегрировать по частям. Будьте очень внимательны и следите за тем, что зависит от$x$и от чего зависит$x^{\prime}$.

$\underline{(1) \Rightarrow (2)}$: использовать серию Тейлора

$$f( x^{\prime} ,t+\varepsilon ) ~=~f( x^{\prime} ,t) +\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}f\left( x^{\prime },t\right) +{\cal O}\left( \varepsilon ^{2}\right).$$

Автор статьи в Википедии указывает, что уравнения «формально эквивалентны». Я думаю, это означает, что оба уравнения, Шредингера и Фоккера-Планка, описывают эволюцию функции во времени. Тогда, как это делается в квантовой механике с интегралами по путям Фейнмана, мы можем записать уравнение в частных производных в терминах интеграла по путям и говорить о «распространении» начального состояния во времени.

Вот как перейти от (0) к (1).

Во-первых, обратите внимание на это свойство дельта-функции:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta^{\left(n\right)}\left(x'-x\right)dx=\left(-1\right)^{n}f^{\left(n\right)}\left(x'\right)$$

где верхний индекс$\left(n\right)$указывает n-ю производную. Это можно показать интегрированием по частям.

В правой части уравнения (0) стоят первая и вторая$x$производные от$f(x,t)$и производные от$\mu\left(x,t\right)$и$D\left(x,t\right)$можно отнести к$D_{1}\left(x,t\right)$и$D_{2}\left(x,t\right)$уравнения (1).

$$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=\left(-D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial}{\partial x}+D_{2}\left(x,t\right)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)f\left(x,t\right)$$

Я не уверен, что происходит с термином$\left(\frac{\partial^{2}D\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial\mu\left(x,t\right)}{\partial x}\right)f\left(x,t\right)$. Возможно, этими производными по пространству можно пренебречь, если предположить, что функции$\mu\left(x,t\right)$и$D\left(x,t\right)$существенно не различаются с$x$.

Теперь производные дельта-функции можно использовать для записи терминов в правой части как:

$$-D_{1}\left(x',t\right)\frac{\partial}{\partial x'}f\left(x',t\right)=-\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\delta\left(x'-x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial\delta\left(x'-x\right)}{\partial x}f\left(x,t\right)dx$$

и аналогично для второго члена. Если сложить, то получим уравнение (1).

Чтобы перейти к уравнению (2), следуйте подсказке Qmechanic, и Тейлор расширится вокруг$t$.

Переход от уравнения (0) к (1) состоит в основном в записи сопряженного линейного оператора в уравнении Фоккера-Планка (со стандартным$L^2$внутренний продукт). Таким образом, первое уравнение в основном состоит из следующих утверждений:

$$\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\mathcal{L}_xf\text{ where }\mathcal{L}_x\equiv-\dfrac{\partial}{\partial x}D_1(x,t)+\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}D_2(x,t)$$ и задано (для всех вещественнозначных функций) $$\langle f,g\rangle=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}xf(x)g(x)$$ то сопряженное ( $\mathcal{L}_x^\dagger$) из $\mathcal{L}_x$определяется как $$\langle\mathcal{L}f,g\rangle=\langle f,\mathcal{L}_x^\dagger g\rangle$$ что подразумевает $$\mathcal{L}_x^\dagger=D_1(x,t)\dfrac{\partial}{\partial x}+D_2(x,t)\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$$