Уравнения Максвелла, инвариантные относительно всех линейных преобразований?

Уравнения Максвелла в тензорной записи гласят:

∂ мю Ф мю ν "=" Дж ν ∂ [ λ Ф мю ν ] "=" 0

Рассмотрите возможность выполнения общего преобразования координат Икс мю → Икс мю ′ по первому уравнению. (Примечание: все последующее относится и ко второму уравнению.) Записав уравнение в координатах со штрихами, а затем расширив их в координатах без штрихов, мы обнаружим, что уравнение преобразуется в:

∂ Икс λ ∂ Икс мю ′ ∂ 2 Икс мю ′ ∂ Икс λ ∂ Икс мю ∂ Икс ν ′ ∂ Икс ν Ф мю ν + ∂ Икс λ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ∂ 2 Икс ν ′ ∂ Икс λ ∂ Икс ν Ф мю ν + ∂ Икс λ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ∂ Икс ν ′ ∂ Икс ν ∂ ∂ Икс λ Ф мю ν "=" ∂ Икс ν ′ ∂ Икс ν Дж ν

Достаточным условием того, чтобы уравнение было инвариантным относительно этого преобразования, является обращение в нуль первых двух членов в левой части, а достаточным условием для этого является то, что:

∂ 2 Икс мю ′ ∂ Икс λ ∂ Икс мю "=" 0

Интегрируя это уравнение, находим, что это уравнение Максвелла будет инвариантным относительно линейного преобразования координат:

Икс мю ′ "=" М     мю мю ′ Икс мю + а мю ′

Здесь, М     мю мю ′ является постоянной матрицей и а мю ′ является постоянным вектором.

Формально это верно для всех линейных преобразований, а не только для преобразований Лоренца. Конечно, можно апеллировать к существованию метрического поля Минковского, чтобы ограничить М     мю мю ′ быть матрицей Лоренца. Однако это не меняет того факта, что это уравнение оказывается формально инвариантным относительно всех линейных преобразований. И я не думал, что должно быть верно, что уравнения Максвелла были инвариантны относительно всех линейных преобразований!

Итак: может ли кто-нибудь разобраться со мной здесь? Действительно ли два приведенных выше уравнения инвариантны относительно всех линейных преобразований, или я допустил здесь ошибку?

Ответы (2)

Существует дополнительное условие, вытекающее из третьего члена в левой части вашего преобразованного уравнения, где вы использовали то, что казалось цепным правилом.

∂ Икс λ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю "=" дельта мю λ
В действительности, однако, нетривиальное расположение ковариантных и контравариантных векторных компонент приводит к тому, что это уравнение содержит больше, чем просто цепное правило, и на первый взгляд это то, что ограничивает М ν мю быть преобразованием Лоренца.

Без понижения и повышения это дает нам известный факт, что матрица якобиана ортогональна. С учетом позиционирования индекса это дает нам условие

М Т η М "=" 1
В противном случае все скалярные произведения в общей теории относительности будут инвариантными относительно общего линейного преобразования координат, а не преобразования Лоренца, когда вам требуется, чтобы преобразование было глобальным.

  1. Сначала заменим метрический тензор Минковского

    η   "="   η мю ν   г Икс мю ⊙ г Икс ν
    с более общим постоянным метрическим тензором
    г   "="   г мю ν   г Икс мю ⊙ г Икс ν .

  2. Обратите внимание, что приподнятый тензор ЭМ

    Ф мю ν   "="   г мю λ Ф λ κ г κ ν
    зависит от (обратной) метрики. Уравнения Максвелла ковариантны при жестком г л ( 4 ) преобразований, если мы не забудем преобразовать (обратную) метрику г мю ν соответственно.

  3. С другой стороны, если компоненты метрики г мю ν всегда предполагаются равными метрике Минковского η мю ν "=" г я а г ( ± 1 , ∓ 1 , ∓ 1 , ∓ 1 ) , то жесткие преобразования

    Λ мю ν "=" ∂ Икс ′ мю ∂ Икс ν
    должны быть матрицами Лоренца.

  4. Наконец, отметим, что уравнения Максвелла можно записать в общем искривленном пространстве-времени так, чтобы они были общековариантными.

Я никогда не видел обозначение ⊙ . Почему нет ⊗ - метрика ведь тензор?
@ACuriousMind: обозначение ⊙ (или ∨ ) обозначает симметризованный ⊗ тензорное произведение так же, как ∧ обозначает антисимметризованный ⊗ тензорное произведение.
Уравнения Максвелла, инвариантные относительно всех линейных преобразований?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v