Уровень Ферми и проводимость

Энергия Ферми

Если вы работаете при нулевой температуре,$T = 0$K и заполнить энергетические состояния системы в соответствии с принципом запрета Паули, энергия Ферми является границей, на которой все более низкие состояния заполнены, а все более высокие состояния пусты. В$T = 0$эта граница является резкой линией.

Например, у вас есть лестница с пятью ступенями, которую вы должны «заполнить» десятью электронами. Из-за принципа запрета Паули на каждый шаг может приходиться только два электрона. Теперь вы заполняете лестницу: 2 электрона на первом шаге, следующие два на втором шаге и так далее, пока вы не поместите последние два электрона на 5-й шаг. Энергия на этом шаге (5-й шаг) — это ваша энергия Ферми.

Металлы имеют энергию Ферми в несколько электрон-вольт (эВ). (Cu: 7 эВ, Al: 11 эВ). Для сравнения, тепловая энергия при комнатной температуре составляет около$k_B T \sim$0,025 эВ.

Связь с проводимостью

Во-первых, вы должны знать, что в процессе проводимости могут участвовать только электроны с энергией, близкой к энергии Ферми. Почему? Я упоминал ранее, что в$T = 0$, энергия Ферми представляет собой острую линию. В$T > 0$, эта острая линия «размывается», и вы получаете что-то вроде этого:

$\hspace{1.8in}$

Это означает, что вместо только полных и пустых состояний у вас теперь есть полупустые состояния выше и ниже энергии Ферми. Это, в свою очередь, означает, что теперь вы можете возбуждать электроны в более высоких энергетических состояниях, что вам нужно сделать, если вы хотите ускорить их в определенном направлении; т.е. если вы хотите работать над ними.

Но вследствие малого вклада тепловой и электрической энергии (тепловой$\sim$0,025 эВ, электрическая меньше этого), вы можете возбудить только электроны, ОЧЕНЬ БЛИЗКО к энергии Ферми ($E_F$). Таким образом, только электроны, близкие к$E_F$будет способствовать проведению.

С этим$E_F$вы можете связать скорость, скорость Ферми:

Теперь обратимся к проводимости:

проводимость$\sigma$определяется как

можно получить$\tau$от$\mathscr{l}$, средний свободный пробег между двумя столкновениями, заданный как$\mathscr{l} = v_F \tau$или наоборот,$\tau = \mathscr{l}/v_F$. За это время электрон ускоряется. БОЛЬШОЙ$v_F$следовательно, это приведет к КОРОТКОМУ времени ускорения и МЕНЬШЕМУ увеличению скорости электрона в заданном направлении.

Наконец, вы можете записать проводимость как:

Помните, что$v_F$, скорость Ферми, напрямую связана с энергией Ферми$E_F$.

В качестве примера рассмотрим следующую таблицу энергий Ферми: у меди энергия Ферми МЕНЬШЕ (7 эВ), чем у алюминия (11 эВ), поэтому скорость Ферми у меди МЕНЬШЕ; следовательно, время между двумя столкновениями ($\tau$) длиннее, чем у алюминия. Это, в свою очередь, означает, что у электрона есть БОЛЬШЕ времени для ускорения в заданном направлении, что, наконец, объясняет, почему медь является лучшим проводником.

Я полагаю, это зависит от того, как вы определяете «простой», но, на мой взгляд, лучший ответ — нет ; объяснение тысяч страниц из книг по квантовой механике, физике твердого тела, электронике, реологии и т. д. «простым способом», как того требует вопрос, подразумевает, что эти работы можно сократить до нескольких страниц, что на первый взгляд кажется маловероятным.

Грегор Михаличек утверждал (см. комментарии ниже), что следует игнорировать эту проблему и отвечать на другую версию вопроса, в которой было удалено простое предложение. Я не согласен. Я думаю, что в истории науки есть много примеров, когда плохая наука была сделана из-за того, что люди замалчивали проблемы или игнорировали подразумеваемые или скрытые предположения в своих исследованиях.

В любом случае, мой ответ «нет» является лучшим ответом, вероятно, невозможно доказать. Но, чтобы попытаться доказать свою правоту, я собираюсь посмотреть, является ли другой ответ здесь правильным и простым. Если я прав, то это будет либо неправильно, либо не просто.

В качестве предварительного замечания: другой ответ здесь от NoEigenvalue в настоящее время имеет зеленый флажок, 5 голосов, редактирование рецензентом и положительный комментарий. Итак, на первый взгляд можно подумать, что мой ответ неверен, поскольку, если я прав, это предполагает, что не только один человек здесь, но и сообщество тоже ошибается.

Тем не менее, давайте посмотрим, есть ли проблемы с ответом NoEigenvalue или он не так прост, как кажется.

Ответ начинается с попытки объяснить, что такое энергия Ферми, используя модель атома Бора. Однако затем он переходит к определению энергии Ферми для некоторых металлов. Он делает это, ссылаясь на внешние таблицы. Он полностью пропускает вывод, основанный на плотности свободных электронов, и не пытается их связать. Позже я покажу, что это создает проблему, потому что неустановленная зависимость влияет на аргумент NoEigenvalue.

Затем ответ NoEigenvalue утверждает: «Во-первых, вы должны знать, что только электроны с энергией, близкой к энергии Ферми, могут участвовать в процессе проводимости...$T>0$... вы [только] теперь можете возбудить электроны в более высоких энергетических состояниях, что вам нужно сделать, если вы хотите ускорить их в направлении ; т. е. если вы хотите совершать над ними работу [т. е. производить ток]». (выделено мной). Этот аргумент не объясняется. На самом деле он также является обратным . эти металлы при низких температурах, где, согласно аргументу, не было бы электронов для переноса тока, а проводимость была бы равна нулю.На самом деле именно здесь проводимость максимальна, а удельное сопротивление (обратное) приближается к минимуму:

Далее автор утверждает, что$\sigma$определяется$ne^2\tau/m$где$n$число электронов [в единице объема]... Неправильно. Определение проводимости - это отношение тока к полю или легкость протекания тока при нажатии. Приведенное выражение во многом лишь создает иллюзию уверенности, вводя свободный параметр,$\tau$, с одним новым уравнением, которое не обязательно дает какую-либо новую физическую информацию. Таким образом, он действительно определяет$\tau(\sigma)$, что можно рассматривать как временную шкалу обмена импульсом некоторого электронного облака с ионной решеткой.

Далее мы видим$\sigma=ne^2l/mv_F$и спор о том, как, если$v_F$в меди меньше, чем в алюминии, то ток будет выше. Не указано, что это зависит от$n$и$l$быть одинаковым в обоих металлах, что маловероятно. В самом деле, это было моей точкой зрения, сделанной выше, что вывод$E_F(n)$скучал. Это кажется довольно удобным, учитывая, что это меняет более поздний аргумент; алюминий является трехионным, а не одноионным, поэтому$n$получает от этого коэффициент в три раза, и в итоге плотность свободных электронов составляет коэффициент$21.1\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}/8.49\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}\simeq 2.5$что из меди . Этот относительно большой фактор опережает фактор энергии/скорости, созданный NoEigenvalue, в очевидной попытке сделать последний аргумент для простого ответа на вопрос, потому что этот фактор просто$11/7\simeq 1.6$дополнительно смягчается до 1,3 из-за функции квадратного корня при преобразовании энергий в скорости. Таким образом, по номинальной стоимости, если вы включите дисперсию$n$в аргументе NoEigenvalue на самом деле было бы сказано, что алюминий имеет большую проводимость. Это явно проблема с ответом на вопрос, почему медь имеет большую проводимость.

Подводя итог, я думаю, что показал, что якобы простой ответ одновременно и слишком прост, и во многих отношениях неверен. Это не доказательство того, что лучший ответ — «нет», но, вероятно, это веский аргумент в пользу того, что «нет» — разумный ответ, если не лучший ответ.

В конце концов, я думаю, что природа не всегда так тривиальна, как вымышленная версия, которую люди иногда придумывают из-за собственного высокомерия, желая думать, что они лично знают, что происходит, и, по-видимому, ту версию реальности, которую вы ищете. через ваш вопрос. Смирение — важный партнер любознательности и хороших исследований, и не следует оставлять его позади в эгоистичном желании обманом заставить себя двигаться вперед.