Условия векторного поля для представления магнитного поля

Любое статическое поле с нулевой дивергенцией, т. е. подчиняющееся магнитному закону Гаусса$\nabla\cdot\mathbf B=0$, является действительным магнитным полем. Ротор поля может быть любым: если он отличен от нуля, то требуется плотность тока$\mathbf J$чтобы поддерживать его, данный законом Ампера

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J.$$ Этот завиток, в принципе, может быть любым подходящим векторным полем, хотя, поскольку это завиток, он должен иметь нулевую дивергенцию, т. е. $\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf B )= \mu_0\nabla \cdot\mathbf J=0$, что в любом случае должно произойти в статической ситуации из-за сохранения заряда.

Если токов нет, т.е. в вакууме, то да, магнитное поле будет иметь нулевую завихренность. Большинство обычных примеров магнитных полей попадают в эту категорию, и магнитное поле вполне может иметь нулевую дивергенцию и нулевую закрутку (хотите простой пример? Попробуйте постоянное поле).

Однако важно отметить, что обычно вы хотите, чтобы ваше магнитное поле где-то имело источники , а это означает, что условия в вакууме$\nabla\times\mathbf B=0$будет выполняться только для некоторой ограниченной области в пространстве. В этом духе возможно иметь векторное поле без дивергенции и без завихрения, определяемое во всем пространстве, но для этого требуется его магнитная энергия.$U=\frac{\mu_0}{2}\int|\mathbf B|^2\mathrm d\mathbf r$быть бесконечным, что так же нефизично, как ненулевое статическое магнитное поле без источников.

---

Однако если вам нужно поле, зависящее от времени, проблема немного изменится. Что касается магнитных уравнений Максвелла,

$$\nabla\cdot\mathbf B=0 \text{ and } \nabla\times\mathbf B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J,$$ любое векторное поле без дивергенции в принципе можно интерпретировать как магнитное поле. Однако для этого нам нужно найти набор источников, $\mathbf J$и $\rho$, а главное электрическое поле $\mathbf E(\mathbf r,t)$, чтобы пойти с ним, или все это немного спорно. Следовательно, это означает, что нам нужно немного перевернуть уравнения Максвелла с ног на голову, и теперь они становятся $$\begin{align} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J & = \nabla\times\mathbf B \\ \nabla\times\mathbf E & = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \end{align}$$ как проблема, которую нужно решить $\mathbf E$и $\mathbf J$, что вообще всегда разрешимо.

Каким условиям должен соответствовать ротор векторного поля, чтобы представить магнитное поле?

Вероятно, ничего, кроме самого уравнения Максвелла.

Уравнение

$$\nabla\cdot \mathbf B = 0$$

ограничивает набор возможных магнитных полей, поскольку правая часть постоянна во времени и в уравнении нет другой переменной, кроме$\mathbf B$. Уравнение такого типа иногда называют уравнением ограничений .

Уравнение

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf j + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t},$$ с другой стороны, не имеет постоянной части; оба $\mathbf j$и $\mathbf E$неизвестные функции времени и положения. Таким образом, это уравнение само по себе не определяет никаких ограничений, ограничивающих набор возможных значений. $\mathbf B$.

Как утверждает гипортнекс, условие для статического магнитного поля в вакууме (спасибо Эмилио за исправление) таково:$\nabla \times {\bf B} = 0$.

Магнитное поле может иметь как нулевую дивергенцию, так и нулевую завихренность . База решений имеет вид${\bf B}_{l,m} \propto - \nabla \left( r^l Y_{l,m}(\theta,\phi) \right)$где$Y_{l,m}$являются реальными сферическими гармониками . Думаю, Джексон называет это «внутренними решениями» уравнения Лапласа. Соответствующие «внешние решения» имеют вид${\bf B}_{l,m} \propto -\nabla ( r^{-l-1} Y_{l,m} )$.

Я думаю, что самый простой способ сказать, является ли данное поле правдоподобным магнитным полем, состоит в том, что оно имеет нулевую дивергенцию и нулевую закрутку, однако это применимо только к статическим ситуациям.