В чем физический смысл импульса Лоренца?

Повышение является «единственным другим» правдоподобным выбором для преобразований, которые смешивают координаты пространства-времени, помимо вращения. Оба понятия в этом смысле дополняют друг друга. См., например:

Палаш Б. Пал, «Ничего, кроме относительности», Eur. Дж. Физ. 24 , стр. 315-319, 2003 г.

Учитывая определенные «разумные» предположения о нашей Вселенной; грубо

1. Первый постулат относительности; вместе с
2. Предположения об однородности пространства и времени и
3. Симметрия отношений между двумя инерциальными наблюдателями

выводится линейность преобразований координат между ними.

Теперь делаем предположение, что:

4. Преобразование должно быть непрерывной функцией параметра скорости. Должен быть плавный путь, параметризованный скоростью/быстротой, соединяющий каждое ускорение с преобразованием идентичности.

Таким образом, наше преобразование должно иметь вид (это не сразу очевидно, вам нужно проделать некоторую работу, чтобы доказать это):$X\mapsto \exp(\eta\,K)\,X$, где$X$- наш вектор-столбец координат пространства-времени,$K$а$2\times2$постоянная матрица и$\eta$наш параметр скорости/быстроты, который кодирует гладкость пути через экспоненциальную матрицу$\exp$.

Если вы затем предполагаете, в дополнение к вышеизложенному, что время одинаково для всех наблюдателей, то ваше преобразование однозначно определено: вы получаете относительность Галилея.

Если вы затем ослабите допущение универсального времени и скажете, что время само по себе является координатой, зависящей от наблюдателя, тогда возможностей больше.

По сути, масштабирование по модулю координат дает две возможности, согласующиеся с тремя приведенными выше предположениями: повороты и повышения; первый соответствующий выбор нашего нормализованного$K = \left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$для поворотов и$K = \left(\begin{array}{cc}0&+1\\1&0\end{array}\right)$для другой возможности. Вращения, конечно, проявляются в преобразованиях, которые смешивают только пространственные координаты.

Так могут ли вращения смешивать пространство и время? Ну, нет, если мы требуем, чтобы причинно-следственная связь оставалась истинной. Всегда можно найти поворот, который бы инвертировал направление разницы во времени между двумя событиями.

Единственная другая возможность - это буст, когда мы заменяем наш$K$матрица с$K = \left(\begin{array}{cc}0&+1\\1&0\end{array}\right)$. Это имеет действительные собственные значения, в отличие от чисто мнимых для вращения$K$выше. Он также обладает тем важным свойством, что до тех пор, пока параметр скорости не превышает$c$, знак временной составляющей остается прежним. Причинно-следственная связь поддерживается. В самом деле, вы можете принять это за причину, по которой мы говорим, что не может быть путешествий быстрее скорости света: мы вынуждены принять этот постулат, если требуем, чтобы порядки необратимых физических процессов не зависели от наблюдателя. Также никакое преобразование со скоростью больше скорости света не связано с тождеством путем$X(\eta) = \exp(\eta\,K) X$. Никакая конечная последовательность конечных ускорений не даст вам относительной скорости$c$.

Итак, в заключение, если смотреть на это с точки зрения вышеизложенного, я считаю, что преобразование Лоренца — самая естественная вещь в мире. Это одна из немногих возможностей, похожих на вращения. Когда дело доходит до смешения пространственных и временных координат, а не смешения пространственных координат, трансформация не может быть точно такой же, как вращение, потому что у нас должен быть механизм для поддержания причинно-следственной связи. Этот механизм является нетривиальной подписью преобразования Лоренца.

Демонстрация линейности преобразований

Предположения (1), (2) и (3) показывают, что преобразование координат должно быть аффинным: JoshPhysics делает это здесь (его ответ на Physics SE «Однородность пространства подразумевает линейность преобразований Лоренца»), а Mark H делает это прекрасно здесь ( его ответ на «Почему мы пишем длины следующим образом? Вопрос о преобразовании Лоренца» ).

Затем мы можем выбрать перенос пространства-времени, чтобы сделать преобразование линейным и однородным.

Доказательство того, что однопараметрическая группа Ли следует из постулата непрерывности/монотонности (4)

Это самый первый шажок в гораздо более сложном решении знаменитой пятой проблемы Гильберта. Сначала мы начнем с более точной формулировки нашего постулата непрерывности и монотонности групповых операций, пригодного для математических выводов.

Постулат непрерывности и монотонности композиции группы (версия 2): Матричная группа преобразований между инерциальными системами отсчета, относительное движение которых определяется скоростью в одном направлении, характеризующей группу, является непрерывным образом реальной линии (линии обобщенных скоростей ) , т.е. $\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{M}(N,\,\mathbb{R})$является всей группой и определяет непрерывное ($C^0$) путь через множество$\mathcal{M}(N,\,\mathbb{R})$из$N\times N$действительные матрицы. Более того:

1. Мы определяем$\sigma(0)=\mathrm{id}$и$\sigma(\eta)$для$\eta>0$всегда определяет относительное движение в одном и том же направлении, в то время как$\eta<0$всегда определяет движение в противоположном направлении ($\eta$имеет тот же знак, что и относительная скорость вдоль выбранного направления);
2. Групповые операции непрерывны, так что функция$p:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$определяется$\sigma(\eta_1)\,\sigma(\eta_2) \stackrel{def}{=}\sigma(p(\eta_1,\,\eta_2))$является непрерывной функцией$\eta_1$и$\eta_2$и функция$\iota:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$определяется$\sigma(\eta)^{-1} = \sigma(\iota(\eta))$также является непрерывной функцией$\eta$;
3. Отображение$\sigma$монотонна в том смысле, что если$\sigma(\eta_1)\,\sigma(\eta_2)=\sigma(p(\eta_1,\,\eta_2)=\eta_3)$и если$\eta_1,\,\eta_2>0$, затем$\eta_3>\eta_1$и$\eta_3>\eta_2$. Аналогично, если$\eta_1,\,\eta_2<0$, затем$\eta_3<\eta_1$и$\eta_3<\eta_2$. Интуитивно: сочетание двух относительных движений в одном и том же направлении представляет собой «более быстрое» относительное движение в том же направлении.\newline

Теперь мы используем «трюк», который Генри Бриггс использовал для расчета своих таблиц логарифмов Arithmetica Logarithmica 1624 года (см. Лекции Фейнмана, том 1, глава 22 ), и который был расширен фон Нейманом до закрытых матричных групп в 1929 году. функции$\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{M}(N,\,\mathbb{R})$чтобы выбрать «единичное» относительное движение достаточно медленным, чтобы все матрицы преобразования в наборе$\{\sigma(\eta)|\,\eta\in[0,\,1]\}=\sigma([0,\,1])$, т. е. непрерывный путь матриц преобразования в группе, связывающий тождество$\sigma(0)=\mathrm{id}$и$\sigma(1)$, все выполняют оценку$\|\sigma(\eta) - \mathrm{id}\| < 1;\,\eta\in[0,\,1]$. Такое «единичное» движение существует благодаря непрерывности$\sigma$. Значение этой границы состоит в том, что при ее выполнении матричный логарифмический ряд Тейлора сходится, так что каждый$\sigma(\eta)$в сегменте пути$\sigma([0,\,1])$имеет логарифм, определяемый$\log(\sigma(\eta)) = K = (\sigma(\eta) - \mathrm{id}) -\frac{1}{2} (\sigma(\eta) - \mathrm{id})^2 + \frac{1}{3}(\sigma(\eta) - \mathrm{id})^3 - \cdots$. Теперь рассмотрим функцию$\mathrm{sqr}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$определяется$\sigma(\eta)\,\sigma(\eta)=\sigma(\mathrm{sqr}(\eta))$. Согласно постулату непрерывности группового состава, это непрерывная функция вещественной переменной с$\mathrm{sqr}(0)=0$и по аксиоме монотонности в этом постулате мы видим, что$\mathrm{sqr}(1)>1$. Следовательно, по теореме о промежуточном значении существует$\eta_{\frac{1}{2}}\in[0,\,1]$такой, что$\sigma(\eta_{\frac{1}{2}})\,\sigma(\eta_{\frac{1}{2}}) = \sigma(1)$. То есть,$\sigma(1)$имеет квадратный корень в сегменте пути$\sigma([0,\,1])$. Но теперь, в силу сходимости логарифмического ряда, каждая матрица внутри шара, определяемая формулой$\mathcal{V}=\{\gamma|\,\|\gamma-\mathrm{id}\|<1\}$имеет уникальный квадратный корень внутри этого шара (хотя он вполне может иметь и другие квадратные корни вне шара), определяемый$\sqrt{\sigma(\eta)} = \exp\left(\frac{1}{2}\log(\sigma(\eta))\right)$потому что логарифм определен и отображает шар$\mathcal{V}$в район$\mathcal{U}=\log(\mathcal{V})=\{K|\,\exp(K)\in\mathcal{V}\}$и как матричная экспонента, определяемая универсально сходящимся матрично-экспоненциальным матричным рядом Тейлора, так и логарифм, являются взаимно однозначными отображениями между$\mathcal{U}$и$\mathcal{V}$. Следовательно, если бы было два квадратных корня$\varsigma_1,\,\varsigma_2$внутри шара$\mathcal{V}$, то оба имеют логарифмы, поэтому их квадраты равны$\sigma(1)=\exp(2\,\log\varsigma_1) = \exp(2\,\log\varsigma_1)$. Тогда, потому что$\sigma(1)$также принадлежит$\mathcal{V}$, он имеет единственный логарифм, так что$\log\varsigma_1=\log\varsigma_2$, откуда$\varsigma_1=\varsigma_2$. Итак, теперь мы знаем, что сегмент пути содержит квадратный корень$\sigma(\eta_{\frac{1}{2}})$из$\sigma(1)$где$\eta_{\frac{1}{2}}\in[0,\,1]$и этот квадратный корень должен быть уникальным квадратным корнем$\exp\left(\frac{1}{2}\,K(1)\right)$, где$K(1)=\log(\sigma(1))$, так как весь отрезок пути$\sigma([0,\,1])$лежит в мяче$\mathcal{V}$.

Теперь повторим этот трюк с$\sigma(\eta_{\frac{1}{2}})=\exp\left(\frac{1}{2}\,K(1)\right)$чтобы показать, что существует$\sigma(\eta_{\frac{1}{4}}) = \exp\left(\frac{1}{4}\,K(1)\right)$с$\eta_{\frac{1}{4}}\in[0,\,\eta_{\frac{1}{2}}]$. Из аксиомы монотонности в нашем постулате непрерывности группового состава также следует, что$\sigma(\eta_{\frac{3}{4}}) = \exp\left(\frac{3}{4}\,K(1)\right)$с$\eta_{\frac{3}{4}}\in[\eta_{\frac{1}{2}},\,1]$лежит на нашем отрезке пути. Это потому что$\sigma(\eta_{\frac{3}{4}}) = \sigma(\eta_{\frac{1}{4}})\,\sigma(\eta_{\frac{1}{2}})$, так$\eta_{\frac{3}{4}}>\eta_{\frac{1}{2}}$, пока$\sigma(1) = \sigma(\eta_{\frac{1}{4}})\,\sigma(\eta_{\frac{3}{4}})$, так$\eta_{\frac{3}{4}}<1$. Далее мы повторяем этот трюк для$\sigma(\eta_{\frac{1}{4}})$, тем самым показывая$\{\exp\left(\frac{k}{8} K(1)\right)|\,k\in0,\,1,\,\cdots\,8\}\subset\sigma([0,\,1])$. Индуктивное повторение этого процесса показывает, что матрица$\exp\left(n\,2^{-m}\,K(1)\right)$для любого целого числа$n$и$m$принадлежит нашей группе, т. е. всякая сила$\exp\left(q\,K(1)\right)$из$\exp\left(K(1)\right)$лежит в сегменте пути$\sigma([0,\,1])$где$q$является рациональным числом в интервале$[0,\,1]$с конечным бинарным расширением. Сегмент пути$\sigma([0,\,1])$являясь замкнутым подмножеством множества квадратных матриц, оно должно содержать замыкание множества матриц преобразования, принадлежащих ему, как мы показали, а именно,$\{\exp\left(n\,2^{-m}\,K(1)\right)|\,n,\,m\in\mathbb{N};\,n\,2^{-m}\in[0,\,1]\}$. Но множество чисел вида$n\,2^{-m}${\it плотно} в интервале$[0,\,1]$, поэтому сегмент пути содержит сегмент пути$\{e^{\eta\,K(1)}|\,\eta\in[0,\,1]\}$который также связывает$\sigma(0)$и$\sigma(1)$. Отсюда следует, что наш сегмент пути должен быть сегментом пути$\{e^{\eta\,K(1)}|\,\eta\in[0,\,1]\}$потому что функция$\eta\mapsto e^{\eta\,K(1)}$есть единственная возможная непрерывная функция одной вещественной переменной, значения которой совпадают со значениями, определенными выше, на плотном подмножестве$\{n\,2^{-m}|\,n,\,m\in\mathbb{Z}\}$настоящей линии. Таким образом, мы приходим к заключению в$\eqref{LieGroup}$и понимание того, что какая-то постоянная$4\times 4$матрица$K$ полностью характеризует нашу группу преобразования инерциальных систем отсчета в нашем Мире и какая группа действует линейно на пространственно-временные координаты, по крайней мере, если наши четыре постулата верны.

Существует несколько способов аргументации формы$\eqref{LieGroup}$; другой простой способ состоит в том, чтобы понять, что любая замкнутая матричная группа с элементами, сколь угодно близкими к единице ( т. е . есть член$\gamma(\epsilon)$с$\|\gamma(\epsilon)-\mathrm{id}\|<\epsilon$для любого$\epsilon>0$) должен содержать хотя бы один луч вида$\{\exp(\eta\,K)|\,\eta\in\mathbb{R}\}$для некоторой квадратной матрицы$K$. фон Нейман начал исследовать такие мысли в 1929 году\cite{vonNeumann1929}; самое превосходное, легко читаемое изложение этих идей на уровне второкурсника дано в главе 7 «Наивной теории лжи» Стилвелла .