Важность произведения Кронекера в квантовых вычислениях

«Произведение Кронекера», более известное как тензорное произведение , является естественным понятием произведения для пространств состояний, если их правильно рассматривать:

Пространство состояний не является гильбертовым пространством$\mathcal{H}$, но проективное гильбертово пространство $\mathbb{P}\mathcal{H}$связанные с ним. Это утверждение о том, что квантовые состояния являются лучами в гильбертовом пространстве .

Теперь, почему физическое понятие объединения пространств состояний отдельных систем в пространство состояний объединенной системы соответствует взятию тензорного произведения? Причина в том, что мы хотим, чтобы каждое действие оператора (которые являются линейными отображениями) на отдельных состояниях определяло действие на комбинированное состояние - и тензорное произведение именно таково, поскольку для каждой пары линейных отображений$T_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{H}$(которая является билинейной картой$(T_1,T_2) : \mathcal{H}_1 \times \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$) существует единственное линейное отображение$T_1 \otimes T_2 : \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$.

В качестве альтернативы, концентрируясь больше на проективной природе пространств состояний, мы замечаем, что$\lvert \psi \rangle$и$a \lvert \psi \rangle$одно и то же состояние для любого$a \in \mathbb{C}$. Поэтому, обозначая искомый физический продукт через$\otimes$(т.е. не предполагая, что это тензорное произведение), мы должны потребовать, чтобы

$$\lvert \psi \rangle \otimes \lvert \phi \rangle = (a\lvert \psi \rangle) \otimes \lvert \phi \rangle = a (\lvert \psi \rangle \otimes \lvert \phi \rangle)$$ поскольку состояния, созданные $\lvert \psi \rangle$и $a\lvert \psi \rangle$должно давать одно и то же состояние, т. е. отображаться в одно и то же проективное состояние. Очевидно, что это неверно для декартова произведения, поскольку пара $(a\lvert \psi \rangle,\lvert \phi \rangle)$не кратно паре $(\lvert \psi \rangle,\lvert \phi \rangle)$, но верно для тензорного произведения.

Ответ ACuriousMind в значительной степени резюмировал причины, которые по сути являются математическими.

Если вы хотите понять «физический смысл», то я предлагаю вам рассмотреть пример: подумайте о двух квантовых системах, каждая из которых имеет три основных состояния:$\left.\left|1\right.\right>$,$\left.\left|2\right.\right>$и$\left.\left|3\right.\right>$. Набор линейных суперпозиций в одном из этих квантовых пространств представляет собой набор векторов единичной величины вида$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$, где$\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=1$. Ваши состояния будут$3$-компонентные векторы и они живут в трехмерных пространствах.

Теперь, когда мы объединяем эти две системы, базовые состояния не объединяются в декартово произведение, чтобы дать шестимерное пространство. Нет, каждая квантовая система по отдельности остается в своем собственном пространстве, натянутом$\{\left.\left|1\right.\right>, \,\left.\left|2\right.\right>,\, \left.\left|3\right.\right>\}$в то время как другой может находиться в любом состоянии в своем собственном пространстве, охваченном его собственными версиями$\{\left.\left|1\right.\right>, \,\left.\left|2\right.\right>,\, \left.\left|3\right.\right>\}$.

Итак, с системой 1 в состоянии$\left.\left|1\right.\right>$, система 2 может находиться в любом состоянии вида$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$. Таким образом, набор комбинированных квантовых состояний, в которых система 1 находится в состоянии$\left.\left|1\right.\right>$трехмерное векторное пространство. Другое трехмерное векторное пространство комбинированных состояний возникает, если система 1 находится в состоянии$\left.\left|2\right.\right>$с системой 2 в произвольном$\alpha_1\,\left.\left|1\right.\right>+\alpha_2\,\left.\left|2\right.\right>+\alpha_3\,\left.\left|3\right.\right>$состояние. Аналогично для набора комбинированных состояний с системой 1 в состоянии$\left.\left|3\right.\right>$.

Таким образом, наша комбинированная система имеет девять базовых состояний: это векторное пространство с 9 измерениями, а не с 6. Давайте на данный момент запишем наши базовые состояния как$\left.\left|i,\,j\right.\right>$, что означает систему 1 в базовом состоянии$i$, система 2 в базовом состоянии$j$. Теперь запишите суперпозицию этих состояний в виде девятимерного вектора-столбца, сложенного в виде трех лотов по три: первые 3 элемента являются весами суперпозиции состояний.$\left.\left|1,\,j\right.\right>$, следующие 3 веса$\left.\left|2,\,j\right.\right>$а последние три веса$\left.\left|3,\,j\right.\right>$. Вот каким будет матричное представление общего комбинированного состояния.

Теперь предположим, что у нас есть линейный оператор$T_1$действующий только на первую систему, и линейный оператор$T_2$который действует только на второй. Эти операторы в отдельных состояниях имеют$3\times 3$матрицы. Тогда оператор в комбинированной системе имеет$9\times 9$матрица. Если вы образуете матричное произведение Кронекера$T_1\otimes T_2$, то это матрица оператора, придающего ту же$T_1$к трем$\left.\left|i,\,1\right.\right>$компоненты, три$\left.\left|i,\,2\right.\right>$компоненты и три$\left.\left|i,\,3\right.\right>$компонентов, а также придает тот же$T_2$к трем$\left.\left|1,\,j\right.\right>$компоненты, три$\left.\left|2,\,j\right.\right>$компоненты и три$\left.\left|3,\,j\right.\right>$компоненты. Вот что имеет в виду ACuriousMind , когда говорит:

мы хотим, чтобы каждое действие оператора (которые являются линейными отображениями) в отдельных состояниях определяло действие в комбинированном состоянии - и тензорное произведение именно таково, поскольку для каждой пары линейных отображений$T_i : \mathcal{H}_i \to \mathcal{H}$(которая является билинейной картой$(T_1,T_2) : \mathcal{H}_1 \times \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$) существует единственное линейное отображение$T_1 \otimes T_2 : \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \to \mathcal{H}$.

В моем ответе здесь я рассматриваю еще один подробный пример для двух связанных осцилляторов .