Вращающаяся веревка с кольцом

Question

Вращающаяся веревка с кольцом

Физика
центробежная сила
центростремительная сила
динамика вращения

азбука

У меня есть эта идеальная система. Есть брусок с пренебрежимо малой массой и кольцо (точка) с массой $m$ . Бар вращается с угловой скоростью $\omega$ .

Если я вижу эту систему из Неинерциальной системы отсчета, я получаю Центробежную силу и тогда все понятно, кольцо уходит от оси вращения.

Сейчас я увижу эту систему из инерциальной системы отсчета.

Я не понимаю, как я могу вычитать, благодаря этому взгляду, что масса уходит на длинную планку.

В линейном случае я очень хорошо понимаю концепцию фиктивной силы, поэтому я могу легко переключать неинерционную систему на инерциальную. В случае вращения я не могу этого сделать; мой мозг видит только неинерционные случаи с фиктивной силой. На мой взгляд, поскольку реальные силы позиционируются (инерциальная система), вместо этого происходит то, что, как подсказывает мне мой опыт, происходить не должно. Очевидно, я знаю, что ошибаюсь!

Простое интуитивное объяснение тоже не помешало бы, заранее благодарю всех.

Ответы (2)

Вращающаяся веревка с кольцом

интероцепция · Answer 1

интероцепция

Ваша ошибка в инерциальной системе отсчета заключается в том, что вы рассматриваете длину вдоль стержня как координату, $q$ , к которому мы можем просто применить $F_q = m \ddot q$ . Это неверно, так как направление $\hat q$ не постоянна!

азбука

Хорошо, но в направлении q движется мое кольцо, и я не понимаю, почему

интероцепция

Итак, во-первых, вы не должны рисовать

m ω^{2} r

$m\omega^2 r$ как сила в инерционном случае -- это неверно. Что у вас есть

R_{n}

$R_n$ и

m g

$mg$ . Вы можете определить, что результирующая сила в вертикальном направлении отлична от нуля. (Даже когда палка вращается, вертикальное направление остается постоянным во времени.) Основываясь на ограничениях кольца и палки, вы можете видеть, что оно должно двигаться вдоль палки, чтобы иметь ненулевое вертикальное ускорение.

азбука

Конечно

m ω^{2} r

$m\omega^2r$ поскольку сила неверна. Однако даже в более простой ситуации: та же ситуация, что и выше, но с

α = 90 °

$\alpha = 90 °$ угол, у меня была бы такая же ситуация, но с горизонтальной стойкой. Затем

m g = R

$mg = R$ . Предположим, что трения нет. Как возможно, чтобы мой объект (не имеющий структуры, сравнимой с точкой) улетел от бруска?

интероцепция

Ах, вы правы, указывая на изъян в моих рассуждениях. Тогда правильный ответ заключается в том, что ответ не очевиден, кроме математики, при работе в инерциальной системе координат. Вам нужно рассчитать

\ddot{r}

$\ddot r$ , что предполагает дифференциацию

\hat{r}

$\hat r$ и

\hat{θ}

$\hat \theta$ относительно времени.

азбука

Мы в начальной точке. Я не знаю, что делать, чтобы решить мою проблему.

Ertxiem - восстановить Монику · Answer 2

Моя интуиция по проблеме такова:

Рассмотрим вращающийся турник. Если вдоль стержня нет трения и поскольку кольцо не имеет вертикального движения, единственная горизонтальная сила, приложенная стержнем к кольцу, должна быть перпендикулярна стержню в направлении вращения. Эта сила должна существовать, так как кольцо не движется с постоянным вектором скорости.

Так как в этом случае нет направленной внутрь оси стержня силы, расстояние до центра вращения увеличивается.

Если стержень наклонен, мы должны учитывать баланс между действием силы, прикладываемой стержнем к кольцу (которая увеличивает расстояние до начала координат), и силой тяжести, спроецированной на ось стержня (которая притягивает кольцо к центру). источник). Если угловая скорость и расстояние до центра вращения достаточно велики, чтобы преодолеть действие силы тяжести, то кольцо будет скользить наружу, в противном случае оно будет скользить внутрь.

Более подробно, давайте предположим, что бар начинается в начале координат. $(0,0,0)$ . В декартовых координатах положение $\vec{r}$ кольца в то время $t$ когда он на расстоянии $d(t)$ от происхождения, дается $(x, y, z)$ , с:

\begin{aligned} Икс (т) & "=" г (т) грех α потому что (ю т + ф) \\ у (т) & "=" г (т) грех α грех (ю т + ф) \\ г (т) & "=" г (т) потому что α \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ y(t) & = d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ z(t) & = d(t) \cos \alpha \end{align}$

скорость $\dot{\vec{r}} = \vec{v}$ является:

\begin{aligned} \dot{Икс} (т) & "=" \dot{г} (т) грех α потому что (ю т + ф) - ю г (т) грех α грех (ю т + ф) \\ \dot{у} (т) & "=" \dot{г} (т) грех α грех (ю т + ф) + ю г (т) грех α потому что (ю т + ф) \\ \dot{г} (т) & "=" \dot{г} (т) потому что α \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x}(t) & = \dot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - \omega \ d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ \dot{y}(t) & = \dot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) + \omega \ d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ \dot{z}(t) & = \dot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

И ускорение $\ddot{\vec{r}} = \dot{\vec{v}} = \vec{a}$ является:

\begin{aligned} \ddot{Икс} (т) & "=" \ddot{г} (т) грех α потому что (ю т + ф) - 2 ю \dot{г} (т) грех α грех (ю т + ф) - ю^{2} г (т) грех α потому что (ю т + ф) \\ \ddot{у} (т) & "=" \ddot{г} (т) грех α грех (ю т + ф) + 2 ю \dot{г} (т) грех α потому что (ю т + ф) - ю^{2} г (т) грех α грех (ю т + ф) \\ \ddot{г} (т) & "=" \ddot{г} (т) потому что α \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi)\\ \ddot{y}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi) + 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha \ \cos(\omega t + \phi) - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha \ \sin(\omega t + \phi)\\ \ddot{z}(t) & = \ddot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

Для упрощения анализа предположим, что $t$ таков, что $\cos(\omega t + \phi) = 1$ и поэтому, $\sin(\omega t + \phi) = 0$ . Тогда ускорение будет:

\begin{aligned} \ddot{Икс} (т) & "=" \ddot{г} (т) грех α - ю^{2} г (т) грех α \\ \ddot{у} (т) & "=" 2 ю \dot{г} (т) грех α \\ \ddot{г} (т) & "=" \ddot{г} (т) потому что α \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) \sin \alpha - \omega^2 \ d(t) \sin \alpha\\ \ddot{y}(t) & = 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \sin \alpha\\ \ddot{z}(t) & = \ddot{d}(t) \cos \alpha \end{align}$

Еще раз упрощая, начнем со случая, когда полоса горизонтальна. В этом случае, $\sin \alpha = 1$ и $\cos \alpha = 0$ и ускорение становится:

\begin{aligned} \ddot{Икс} (т) & "=" \ddot{г} (т) - ю^{2} г (т) \\ \ddot{у} (т) & "=" 2 ю \dot{г} (т) \\ \ddot{г} (т) & "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}(t) & = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t) \\ \ddot{y}(t) & = 2 \ \omega \ \dot{d}(t) \\ \ddot{z}(t) & = 0 \end{align}$

Если подумать о системе в этом случае, то сила тяжести будет проигнорирована, потому что она будет уравновешена вертикальной реакцией стержня. Что касается горизонтальной силы, которую стержень прикладывает к кольцу, мы можем представить, что она $y$ оси и равен нулю вдоль $x$ ось. Он равен нулю вдоль $x$ оси, потому что я предполагаю, что в этом направлении нет трения. Таким образом, мы можем получить $d(t)$ путем решения уравнения ускорения вдоль $x$ ось:

0 "=" \ddot{г} (т) - ю^{2} г (т)

$0 = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t)$ Поэтому мы получаем :

г (т) "=" к_{1} е^{ю т} + к_{2} е^{- ю т}

$d(t) = k_1 e^{\omega t} + k_2 e^{-\omega t}$ для некоторых констант

k_{1}

$k_1$ и

k_{2}

$k_2$ .

Если мы вернемся к наклонной балке, мы можем рассмотреть наклонную систему координат, которая в момент времени $t$ имеет $x$ ось совмещена со стержнем. В этом случае мы должны рассматривать составляющую силы тяжести вдоль этой $x$ оси, а ускорение вдоль этой оси равно:

- г потому что α "=" \ddot{г} (т) - ю^{2} г (т)

$- g \cos \alpha = \ddot{d}(t) - \omega^2 \ d(t)$ Что приводит к:

г (т) "=" к_{3} е^{ю т} + к_{4} е^{- ю т} + \frac{г потому что α}{ю^{2}}

$d(t) = k_3 e^{\omega t} + k_4 e^{-\omega t} + \frac{g \cos \alpha}{\omega ^ 2}$ для некоторых констант

k_{3}

$k_3$ и

k_{4}

$k_4$ .

Вращающаяся веревка с кольцом

азбука

Ответы (2)

интероцепция

азбука

интероцепция

азбука

интероцепция

азбука

Ertxiem - восстановить Монику

Эффект центробежной силы во вращающейся системе отсчета

Как объяснить экваториальную выпуклость Земли без центробежной силы?

Сохраняется ли закон сохранения энергии, когда орбита вращающейся массы увеличивается в диаметре?

Как центростремительная сила может привести к разлетам тел?

Что происходит, когда центростремительная сила равна и противоположна центробежной силе? [дубликат]

Центростремительная сила в системе отсчета тела, движущегося по окружности

Жесткая перекладина на полу вращающейся космической станции

Углубление понимания центробежной силы на экваторе и полюсах

Какая сила уравновешивает центростремительную силу Земли в инерциальной системе отсчета?

Вопрос по круговому движению — машина поворачивает на дороге