Время, за которое частица, совершающая броуновское движение, достигает точки в объеме

Первое замечание: среднее время попадания конечно, потому что объем конечен. Ничто из того, что я пишу, не имело бы смысла в бесконечной системе.

Будем считать, что целью является шар радиусом$a$в центре сферы и назовем$T(\vec r)$среднее время попадания броуновской частицы, начиная с позиции$\vec r$от происхождения.$T(\vec r)$зависит только от$r=\|\vec r\|$. Рассмотрим теперь броуновское движение$\vec B$в течение короткого времени$\mathrm dt$и вычислить изменение времени попадания

$$\mathrm dt=T(\vec r)-T(\vec r+\vec B_{\mathrm dt}).$$ Используйте разложение Тейлора в сферических координатах правой части $$\mathrm dt=-\vec\nabla T(\vec r)\cdot\vec B_{\mathrm dt}-\frac12\vec B_{\mathrm dt}\cdot H_T(\vec r)\cdot \vec B_{\mathrm dt}$$ где $H_T$является матрицей Гессе $T$который содержит только один ненулевой элемент, равный $\frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_r T(r))$по диагонали. Взяв среднее значение по всем реализациям броуновского движения, получим $$\mathrm dt=-\frac12\frac1{r^2}\partial_r\left(r^2\partial_r T(r)\right) \; 2D\mathrm dt,$$ или в более простой форме, с $\Delta_r$обозначая сферический лапласиан, $$D\Delta_r T(r)=-1.\tag{1}$$ Эта форма является довольно общей для среднего времени попадания. На самом деле это уравнение Фоккера-Планка, в котором мы заменили производную по времени на $-1$.

Решим (1). У нас есть

$$T(r)=-\frac{r^2}{6D}+\frac{A}r+B.$$ $A$и $B$являются константами. Мы должны иметь $T(a)=0$. Второе условие зависит от границы при $r=R$. Будем считать, что граница отражающая, поэтому частицы отскакивают от сферы и продолжают диффундировать внутрь. Это граничное условие фон Неймана, которое математически переводится в $\left.\partial_rT(r)\right\rvert_{r=R}=0$. Это определяет $A=-R^3/3D$. С $T(a)=0$мы нашли $B=a^2/6D+R^3/3Da$. Окончательно $$T(r)=\frac{a^2-r^2}{6D}+\frac{R^3}{3D}\left(\frac1a-\frac1r\right).$$

Если начальная точка равномерно распределена внутри сферы радиуса$R$, среднее значение

$$\int_a^R\frac{3r^2}{R^3-a^3}T(r)\mathrm dr=\frac{(R-a)^2}{15Da}\frac{5R^3+6 R^2a + 3 Ra^2 + a^3}{R^2+Ra+a^2}.$$

Следовательно, для$a\ll R$мы получаем

$$\left\langle T\right\rangle\approx\frac{R^3}{3Da}.$$ Среднее время попадания масштабируется как $R^3$, поэтому на самом деле пропорциональна объему и обратно пропорциональна радиусу цели .

Обратите внимание, что частица может проходить через определенное место много раз, то, что вы ищете, - это время первого прохождения , FPT .$F(r',t|r)$, то есть вероятность занять время$t$двигаться от точки$r$В точку$r'$. Количество, которое вы ищете, является средним значением FPT, учитывая

$$\langle T \rangle = \int_0^\infty t F(r',t|r) dt$$ В целом свободное пространство (частное $d\ge3$), это среднее время может быть бесконечным, потому что частица может никогда не пройти точку. Для ограниченного доминирования это в конечном итоге произойдет, а это означает, что $\langle T \rangle$конечно.

В замкнутом пространстве качественный результат должен зависеть от расстояния$r,r'$от сферической стенки, а также расстояние$|r-r'|$. Я не думаю, что есть какое-то простое решение.

Для вашей системы типа реакции может быть проще просто смоделировать частицы и рассчитать$\langle T \rangle$. Как вариант, расчет$\langle T \rangle$в задаче случайного блуждания эквивалентна решению уравнения диффузии с поглощающим граничным условием или стоком при$r'$. Общая вероятность со временем будет уменьшаться, а FPT — это просто$F(r',t) = \partial_t \int dr P(r,t)$. Это можно сделать в существующем программном обеспечении для решения уравнения диффузии, чтобы вы могли быстро увидеть результат.

---

Математически FPT связана с решением (или функцией Грина)$P(r',t|r)$уравнения диффузии (при граничном условии с константой диффузии$D$) следующим образом:

$$P(r',t|r) = \int_0^\infty F(r',t'|r) P(r',t-t'|r') dt'$$ Отношения ясны, так как ходоку нужно пойти, чтобы провести $t'$перейти к делу $r'$сначала, а потом взять другой $t-t'$петля назад. Один раз $P$известно, т. $F$можно вычислить с помощью преобразования Лапласа, как и $\langle T \rangle$.