Вычисление времени, необходимого для достижения теплового равновесия

Два материала массы м 1 и м 1 , удельная теплоемкость С 1 и С 2 и температура Т 1 > Т 2 разделены проводящим твердым телом толщиной л , область А и теплопроводность к который остается постоянным независимо от изменения градиента температуры Т 1 − Т 2 "=" Δ Т через некоторое время. Количество энергии Вопрос передаваемых в секунду, тогда равно:

г Вопрос г т "=" Δ Т ⋅ к ⋅ А л
Я пытаюсь вывести время, необходимое для достижения теплового равновесия Т е д Был достигнут. Поскольку скорость передачи энергии Вопрос зависит от Δ Т которое, в свою очередь, меняется со временем, я бы поэтому решил, что нужно вычислить время, необходимое для передачи бесконечно малой энергии г Вопрос и суммируйте это до полной энергии Вопрос е д был переведен. Это привело бы к интеграции, которая дает общее необходимое время:
т е д "=" ∫ 0 Вопрос е д 1 Δ Т ⋅ к ⋅ А л ⋅ г Вопрос "=" ∫ 0 Вопрос е д 1 ( Е 1 − Вопрос С 1 м 1 − Е 2 + Вопрос С 2 м 2 ) ⋅ к ⋅ А л ⋅ г Вопрос
Где Е 1 и Е 2 - начальные тепловые энергии материалов. Член в скобках в знаменателе равен Δ Т по энергии шагами г Вопрос во время интеграции. Переписывая интеграцию с точки зрения г Δ Т что равно г Δ Т "=" − г Вопрос ( 1 С 1 м 1 + 1 С 2 м 2 ) :
т е д "=" ∫ 0 Т 1 − Т 2 1 Δ Т ( 1 С 1 м 1 + 1 С 2 м 2 ) ⋅ к ⋅ А л ⋅ г Δ Т
У меня есть 2 вопроса об этом подходе:

1. Интеграции расходятся, так как знаменатель стремится к 0, что делает невозможным вывод определенного интеграла за время т е д . Как следует решить эту проблему?

2. Зная, что верхние пределы Вопрос е д "=" Е 1 С 2 м 2 − Е 2 С 1 м 1 С 1 м 1 + С 2 м 2 и Т 1 − Т 2 "=" Е 1 С 1 м 1 − Е 2 С 2 м 2 , интегрирования с точки зрения Вопрос и Δ Т должен дать тот же результат. Однако при численном вычислении интегралов они дают совсем другие значения. Почему?

Ответы (2)

Уравнения, которые следует использовать,

м 1 С 1 г Т 1 г т "=" к А л ( Т 2 − Т 1 )
и
м 2 С 2 г Т 2 г т "=" к А л ( Т 1 − Т 2 )
Так,
г ( Т 1 − Т 2 ) г т "=" − к А л [ 1 м 1 С 1 + 1 м 2 С 2 ] ( Т 1 − Т 2 )
Решение этого уравнения
( Т 1 − Т 2 ) "=" ( Т 1 − Т 2 ) т "=" 0 опыт ⁡ ( − к А л [ 1 м 1 С 1 + 1 м 2 С 2 ] т )
Что это говорит вам о том, сколько времени потребуется системе для достижения равновесия? С практической точки зрения, можете ли вы оценить, сколько времени «эффективно» потребуется, чтобы эта система достигла равновесия?

Ты подтолкнул меня на это!
@Чет Миллер Спасибо. Ваше второе уравнение действительно то, что я вывел, но я не знаю, как вы пришли к решению, не могли бы вы уточнить? Кроме того, не должен ли я тогда решить
0 "=" ( Т 1 − Т 2 ) т "=" 0 опыт ⁡ ( − к А л [ 1 м 1 С 1 + 1 м 2 С 2 ] т )
рассчитать время, необходимое для достижения равновесия? Но потом т должен быть бесконечным, почему его нельзя вычислить таким образом?
@Phy Но тогда t должно быть бесконечным, почему его нельзя вычислить таким образом? Потому что это время действительно БЕСКОНЕЧНО! Вот как работает экспоненциальный спад: Δ Т эволюционирует асимптотически к 0 для т → + ∞ . Но вы можете рассчитать время, чтобы достичь 0,05 × Δ ( т "=" 0 ) например.
@Phy А теперь проголосуйте за этого человека, как это сделал я: его ответ на 100% правильный.
Математически он бесконечен. Но на практике вы можете сказать, что равновесие достигается, когда вы достигаете 1 %, или 0,1 %, или 0,01 % (или того, что вам больше нравится) от начальной разности температур. Дифференциальное уравнение имеет вид г у г т "=" − λ у или г п ⁡ у г т "=" − λ . Это относительно простое уравнение для решения.
@ChetMiller Спасибо! Мне нужно разъяснение по моему второму вопросу, и тогда я закончу. Моя производная интеграция с точки зрения Δ Т действительно дает ваше решение. При сравнении этого решения с решением моей производной интеграции с точки зрения Вопрос , это показывает, что
Δ Т "=" С 1 м 1 ( Е 2 + Вопрос ) + С 2 м 2 ( Вопрос − Е 1 )
Однако я знаю, что
Δ Т "=" Е 1 − Вопрос С 1 м 1 − Е 2 + Вопрос С 2 м 2
Эти два выражения для Δ Т дают тот же результат только тогда, когда Вопрос - полная переданная энергия, пока не будет достигнуто равновесие. Они дают разные результаты для других значений Q. Что здесь не так?
Я не знаком с вашим подходом. Какими должны быть буквы Е? Если вы решите эти уравнения для T1 и T2 как функции от t, что вы получите? Что вы получаете для Q в зависимости от t?
Да, я очень заинтригован Е 1 и Е 2 .
@ChetMiller E - это начальная тепловая энергия при т "=" 0 . Мой интеграл по г Δ Т дает ваше решение. Переписав интеграл по г Вопрос (подробности в OP) дает это решение в соответствии с integer-calculator.com:
т "=" п ⁡ ( С 1 м 1 ( Вопрос + Е 2 ) + С 2 м 2 ( Вопрос − Е 1 ) ) − к А л ( 1 С 2 м 2 + 1 С 1 м 1 )
Переписывая собственное решение, чтобы выбраться т показывает, что числитель является единственным различием, подразумевающим
Δ Т "=" С 1 м 1 ( Е 2 + Вопрос ) + С 2 м 2 ( Вопрос − Е 1 )
которая отличается от истинной формулы Δ Т с точки зрения Вопрос (предыдущий комментарий)
Правильный результат должен быть
Δ Т "=" Е 1 − ∫ Вопрос г т М 1 С 1 − Е 2 + ∫ Вопрос г т М 2 С 2
где Е 1 "=" М 1 С 1 Т 1 ( 0 ) и Е 2 "=" М 2 С 2 Т 2 ( 0 ) , а Q - скорость теплового потока.
@ChetMiller Извините, но эти интегралы не должны превышать Вопрос г т будет излишним, если я запишу весь интеграл за время как
∫ 0 Вопрос е д 1 ( Е 1 − Вопрос С 1 м 1 − Е 2 + Вопрос С 2 м 2 ) ⋅ к ⋅ А л ⋅ г Вопрос
В этом случае Вопрос идет по шагам г Вопрос в любом случае, что делает ∫ Вопрос г т не обязательно. Имейте в виду, я определяю Вопрос как общая переданная тепловая энергия до определенного момента времени, а не скорость теплового потока.
Что ж, я прошел алгебру уравнения, которое написал, и пришел к тождеству. За то, что вы называете Q, я получил
Вопрос "=" м 1 С 1 м 2 С 2 м 1 С 1 + м 2 С 2 ( ( Δ Т ) 0 − Δ Т )
@ChetMiller Да, это действительно то же самое выражение для Δ Т как я это вывел. Так не означает ли это, что мое выражение интегрирования более г Вопрос верно? Если да, то почему он выдает решение с другим выражением для Δ Т согласно Integral-calculator.com? На сайте упоминается, что решение вычисляется по максимумам. Вот решение
Извините, я действительно не помогаю решать математические проблемы. Мое внимание сосредоточено на том, чтобы показать, как применить законы теплопередачи для получения решения.
В вашем уравнении для t (несколько сообщений назад) вы не включили нижний предел интегрирования Q = 0 при t = 0.

Правильное значение интеграла по Q с учетом предела интегрирования при Q = 0, t = 0 равно:

− к А л [ 1 м 1 С 1 + 1 м 2 С 2 ] т "=" п ⁡ ( С 1 м 1 ( Вопрос + Е 2 ) + С 2 м 2 ( Вопрос − Е 1 ) С 1 м 1 Е 2 − С 2 м 2 Е 1 )

Да! Это действительно решение моего интеграла в терминах Вопрос . Большое спасибо за ваше время и усилия. Я невольно рассматривал первообразные как решения все время, забывая, что интегралы имеют определенные границы. Я не уверен, как вам удалось решить этот интеграл с точки зрения Вопрос тем не менее, многие инструменты расчета на веб-сайтах, похоже, не могут решить эту проблему.
Действительно? Мне это кажется очевидным. Он имеет вид dQ/(a+bQ)
Неважно, я только что заметил, что переписывание п ⁡ ( Δ Т Δ Т т "=" 0 ) из вашего самого первого решения с точки зрения Вопрос также дает тот же результат. Еще раз спасибо!
Вычисление времени, необходимого для достижения теплового равновесия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v