Является ли ∂αfα∂αfα\partial_\alpha f^\alpha независимым от координат?

В этом месте 9-й лекции Шуллера по ОТО он утверждает, что уравнение Пуассона для напряженности ньютоновского гравитационного поля имеет вид

− ∂ α ф α "=" 4 π г р ,
где α "=" 1 , 2 , 3 . Но это уравнение обычно записывается как
∇ → ⋅ г → "=" − 4 π г р .

Я это вижу ∂ α ф α и ∇ → ⋅ ф → идентичны в декартовых координатах, но расхождение в сферических координатах (и других) наверняка сложнее, чем просто ∂ α ф α . Так что же оправдывает утверждение Шуллера о том, что приведенное выше действительно является уравнением Пуассона в независимой от координат ситуации?

Ответы (2)

Расходимость, определяемая через ковариантную производную,

∇ я ф я
действительно не зависит от координат; в этом весь смысл ковариантной производной. Однако, как вы сказали, расхождение не просто равно ∂ я ф я в общем. Вы можете связать их либо путем расширения ковариантной производной,
∇ я ф я "=" ∂ я ф я + Г Дж я я ф Дж
или по формуле
∇ я ф я "=" 1 г ∂ я ( г ф я ) .
Шуллер, вероятно, работает в специальной системе координат или классе систем координат, где для простоты эти дополнительные члены исчезают.

Второе не то же самое, что первое, они идентичны только для обращения в нуль кручения и неметричности. В метрически-аффинных пространствах Г Дж я я и г я Дж являются независимыми переменными, в аффинных пространствах нет согласованной/заранее определенной метрики.
@OktayDoğangün Верно, но я отвечаю в контексте стандартного курса GR.
Может быть, было бы лучше, если бы вы указали это как заявление об отказе от ответственности, чтобы открыть окно для дальнейших концепций. Или это мое избирательное восприятие темы

  1. Главный тезис 9-й лекции Шуллера состоит в том, что ньютоновское пространство-время искривлено с определенной точки зрения. Собственно, это и есть название лекции.

  2. В 14:15 вводит усе 3-ускорение

    Икс ¨ α + ∑ β , γ "=" 1 3 Г α β γ Икс ˙ β Икс ˙ γ   "="   Икс ¨ α , α   е   { 1 , 2 , 3 } ,
    тем самым неявно подразумевая, что все символы пространственной гаммы Г α β γ "=" 0 равны нулю. Здесь он очень краток:

    «Это не ускорение, но давайте не будем говорить об этом прямо сейчас. Это будет позже».

  3. Непосредственно перед отметкой 46 минут он определяет удельную силу с помощью 3 гамма-символов.

    ф α   "="   − Г α 00 , α   е   { 1 , 2 , 3 } ,
    и он делает вывод, что все остальные компоненты гамма-символа должны исчезнуть, чтобы второй закон Ньютона принял форму уравнения геодезии в четырехмерном пространстве-времени.

  4. Так что да, пропущенный термин ∑ β "=" 1 3 Г β α β в формуле пространственной 3-дивергенции

    ∇ → ⋅ ф →   "="   ∑ α "=" 1 3 ∇ α ф α   "="   ∑ α "=" 1 3 ( ∂ α + ∑ β "=" 1 3 Г β α β ) ф α
    здесь предполагается нулевым.

Еще один вопрос Phys.SE по 9-й лекции.
Является ли ∂αfα∂αfα\partial_\alpha f^\alpha независимым от координат?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v