Является ли это переопределение поля для свободной скалярной теории поля нелокальным?

Question

Является ли это переопределение поля для свободной скалярной теории поля нелокальным?

Говард

Действие свободной скалярной теории поля заключается в следующем:

С знак равно \int г^{4} Икс \frac{{\dot{ф}}^{2}}{2} - \frac{ф (м^{2} - \nabla^{2}) ф}{2} .

$S=\int d^4 x \frac{\dot{\phi}^2}{2}-\frac{\phi(m^2-\nabla^2)\phi}{2}.$

Я думал переопределить поле как

ф^{'} (Икс) знак равно \sqrt{м^{2} - \nabla^{2}} ф (Икс),

$\phi'(x)=\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi(x),$ где я предполагаю, что могу отделить оператор

(m^{2} - \nabla^{2})

$(m^2-\nabla^2)$ в качестве

\sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}}

$\sqrt{m^2-\nabla^2}\sqrt{m^2-\nabla^2}$ и проинтегрировать один из них по частям (бесконечным разложением квадратного корня из оператора Гельмгольца). Гамильтониан становится

ЧАС знак равно \int г^{3} Икс \frac{π^{'} (м^{2} - \nabla^{2}) π^{'}}{2} + \frac{ф^{' 2}}{2} .

$H=\int d^3x\frac{\pi'(m^2-\nabla^2)\pi'}{2}+\frac{\phi'^2}{2}.$

Можно проверить, что уравнение движения и решения согласуются с исходной теорией свободного поля (как и должно быть), меня беспокоят следующие вещи:

Справедливо ли делать бесконечное расширение + интегрирование по частям?
Поскольку в переопределении поля есть бесконечные ряды, является ли оно нелокальным? Согласно волновой функции в квантовой механике и локальности и почему лагранжианы более высокого порядка называются «нелокальными»? , он кажется нелокальным. Однако, поскольку в квадратном корне нет производных по времени, начальные данные в каждой точке пространства должны быть равны двум, что соответствует одной степени свободы в каждой точке. Если верно бесконечное расширение, можно узнать конфигурацию поля $\phi'(x)$ если мы знаем $\phi(x)$ , мне непонятно, нужны ли нам все эти исходные данные для бесконечного ряда производных.

Приведенный выше простой пример может быть слишком тривиальным, вопрос, который я исследую, заключается в том, стабильно ли следующее действие или нет,

ЧАС знак равно \int г^{3} Икс \frac{1}{4} π \frac{1}{(1 + 2 β \nabla^{2})} π - ф (β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2}) ф,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi \frac{1}{(1+2\beta \nabla^2)}\pi-\phi(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)\phi,$ куда

β

$\beta$ является константой. Я думал использовать нелокальное переопределение поля

π^{'} знак равно \frac{1}{\sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}}} π, ф^{'} знак равно \sqrt{1 + 2 β \nabla^{2}} ф,

$\pi':=\frac{1}{\sqrt{1+2\beta\nabla^2}}\pi,\qquad \phi':=\sqrt{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ переписать гамильтониан как

ЧАС знак равно \int г^{3} Икс \frac{1}{4} π^{' 2} - ф \frac{(β \nabla^{2} \nabla^{2} + \nabla^{2})}{1 + 2 β \nabla^{2}} ф,

$H=\int d^3x \frac{1}{4}\pi'^2 -\phi\frac{(\beta\nabla^2\nabla^2+\nabla^2)}{1+2\beta\nabla^2}\phi,$ который гарантированно не является призраком. Я согласен с тем, что гамильтониан, с которого я начал, довольно необычен, но это редуцированный гамильтониан теории высших производных с ограничениями.

Не очевидно, как проанализировать это с помощью обычного канонического преобразования, есть ли хороший способ проанализировать это или может ли кто-нибудь сказать мне, что пойдет не так с таким переопределением поля?

Диего Масон

+1 На мой взгляд, вы должны также написать условия взаимодействия.

Ответы (1)

Является ли это переопределение поля для свободной скалярной теории поля нелокальным?

+1 На мой взгляд, вы должны также написать условия взаимодействия.

Qмеханик · Answer 1

Лагранжева формулировка. Плотность лагранжиана для массивного свободного скаляра в $(+,-,-,-)$ конвенция
$\begin{matrix} (1) & л знак равно \frac{1}{2} г_{мю} ф г^{мю} ф - \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} . \end{matrix}$ ${\cal L}~=~\frac{1}{2}d_{\mu}\phi ~d^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2.\tag{1}$ Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа представляет собой массивное уравнение Клейна-Гордона $\begin{matrix} (2) & (г_{мю} г^{мю} + м^{2}) ф знак равно 0. \end{matrix}$ $(d_{\mu}d^{\mu}+m^2)\phi~=~0. \tag{2}$ Импульс $\begin{matrix} (3) & π знак равно \frac{\partial л}{\partial \dot{ф}} знак равно \dot{ф} . \end{matrix}$ $\pi ~:=~ \frac{\partial \cal L}{\partial\dot{\phi}}~=~\dot{\phi}.\tag{3}$
Гамильтонова формулировка. Плотность гамильтониана
$\begin{matrix} (4) & ЧАС знак равно \frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ф)^{2} + \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\pi^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2. \tag{4}$ Гамильтоновы уравнения движения: $\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \dot{π} знак равно & (\nabla^{2} - м^{2}) ф, \\ \dot{ф} знак равно & π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \dot{\pi}~=~&({\bf \nabla}^2-m^2)\phi, \cr \dot{\phi}~=~&\pi.\end{align}\tag{5}$ Обратите внимание, что оба $\phi$ и $\pi$ удовлетворяют массивному уравнению Клейна-Гордона (2).
Каноническое преобразование.
$\begin{matrix} (6) & \tilde{ф} знак равно π, \tilde{π} знак равно - ф . \end{matrix}$ $\widetilde{\phi}~:=~ \pi, \qquad \widetilde{\pi}~:=~ -\phi. \tag{6}$ Новая плотность гамильтониана - это в точности плотность гамильтониана OP. $\begin{matrix} (7) & ЧАС знак равно \frac{1}{2} {\tilde{ф}}^{2} + \frac{1}{2} (\nabla \tilde{π})^{2} + \frac{1}{2} м^{2} {\tilde{π}}^{2} . \end{matrix}$ ${\cal H}~=~\frac{1}{2}\widetilde{\phi}^2 +\frac{1}{2}({\bf \nabla}\widetilde{\pi})^2+\frac{1}{2}m^2\widetilde{\pi}^2.\tag{7}$ Обратите внимание, что оба $\widetilde{\phi}$ и $\widetilde{\pi}$ удовлетворяют массивному уравнению Клейна-Гордона (2). Таким образом, новая плотность гамильтониана (7) может быть воспроизведена без какого-либо переопределения нелокального поля.
Теперь вернемся к вопросам ОП (v3): Да,
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \tilde{ф} знак равно & \sqrt{м^{2} - \nabla^{2}} ф, \\ \sqrt{м^{2} - \nabla^{2}} знак равно & м \sum_{н знак равно 0}^{\infty} (\begin{matrix} 1 / 2 \\ н \end{matrix}) {(- \frac{\nabla^{2}}{м^{2}})}^{н}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&\sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}\phi, \cr \sqrt{m^2-{\bf \nabla}^2}~:=~&m\sum_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix}1/2 \\ n \end{pmatrix} \left(-\frac{{\bf \nabla}^2}{m^2} \right)^n,\end{align} \tag{8}$ является пространственно нелокальным (но локальным во времени) переопределением поля.

Поскольку переопределение поля (8) не содержит производных по времени, данные Коши по-прежнему сводятся к указанию $\widetilde{\phi}$ и его производная по времени на поверхности Коши. Нет необходимости в более высоких производных по времени.

И да, переопределение поля (8) формально приводит к плотности гамильтониана (7). Однако, как упоминалось в разделе 3, уже локальное каноническое преобразование (6) может привести к той же формулировке. Нелокальное переопределение поля OP (8) соответствует нелокальному каноническому преобразованию
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{ф} знак равно & (м^{2} - \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ф, \\ \tilde{π} знак равно & (м^{2} - \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(m^2-{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{9}$
ОП спрашивает в комментарии, разрешено ли такое переопределение нелокального поля (8) в квантовой теории поля вообще? Это зависит от того, кто арбитр. Математик, вероятно, сосредоточится на том, имеет ли смысл подробный вывод/доказательство, в то время как физик, вероятно, будет доволен, если конечный результат/цель имеет смысл.
OP рассматривает в обновлении (v5) явно положительную (но не перенормируемую) плотность гамильтониана
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} {ЧАС}_{β} знак равно & \frac{1}{2} {((1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π)}^{2} \\ + \frac{1}{2} {((1 + β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} \nabla ф)}^{2} \\ знак равно & \frac{1}{2} {\tilde{π}}^{2} + \frac{1}{2} {(\sqrt{\frac{1 + β \nabla^{2}}{1 + 2 β \nabla^{2}}} \nabla \tilde{ф})}^{2} \\ \geq & 0, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\cal H}_{\beta} ~=~&\frac{1}{2}\left((1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi\right)^2\cr &+\frac{1}{2}\left((1+\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}{\bf \nabla}\phi\right)^2\cr ~=~&\frac{1}{2}\widetilde{\pi}^2 +\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1+\beta{\bf \nabla}^2}{1+2\beta{\bf \nabla}^2}}{\bf \nabla}\widetilde{\phi}\right)^2\cr~\geq~&0, \end{align}\tag{10}$ с нелокальным каноническим преобразованием $\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \tilde{ф} знак равно & (1 + 2 β \nabla^{2})^{\frac{1}{2}} ф, \\ \tilde{π} знак равно & (1 + 2 β \nabla^{2})^{- \frac{1}{2}} π . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \widetilde{\phi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{\frac{1}{2}}\phi,\cr \widetilde{\pi}~:=~&(1+2\beta{\bf \nabla}^2)^{-\frac{1}{2}}\pi.\end{align}\tag{11}$

Является ли это переопределение поля для свободной скалярной теории поля нелокальным?

Говард

Диего Масон

Ответы (1)

Qмеханик

Если :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : нелокальна в пространстве, означает ли это, что взаимодействующая квантовая теория поля нелокальна?

Нелокальная структура теории поля

Как отличить локальное от нелокального в QFT?

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона

Локальность в QFT против «нелокальности» в QM

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Почему лагранжев подход предпочтительнее гамильтонова в КТП? [дубликат]

Почему в квантовой теории поля используются лагранжианы, а не гамильтонианы? [дубликат]

Нахождение операторов создания/уничтожения

Связь между сохраняющимся зарядом и генератором симметрии