Зачем сложные функции для объяснения корпускулярно-волнового дуализма?

В конце концов, наша цель состоит в том, чтобы объяснить физическое явление... что, если мы отважимся углубиться в дебри реальных функций и придумаем совершенно другую теорию, объясняющую физическое явление.

Удачи тебе. Во-первых, вы ошибаетесь в том, что классическая физика не использовала мнимые функции. Решения уравнений Максвелла, выраженные в виде мнимых функций, более общие и универсальные, чем синусы и косинусы.

Простейший набор решений волнового уравнения получается из предположения о синусоидальных формах сигналов одной частоты в разделимой форме.

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=\mathrm{Re}\{\mathbf{E}(\mathbf{r} e^{i\omega t}\}$$

Воображаемые функции — полезный инструмент для интеграции и описания реальных данных.

((Если вы попросите меня заняться исследованиями в области теоретической физики, я выброшу все книги по квантовой механике в мусор (не оставляя без внимания) и начну думать с этой точки зрения... Это мой стиль работы!)

С такими слепыми пятнами, я уверен, никто не попросит вас заняться исследованиями в области теоретической физики.

Отличие классического использования мнимых функций от решений волновых уравнений от квантово-механического заключается в постулате о том, что квадрат волновой функции действителен и дает вероятность наблюдаемого взаимодействия элементарных частиц (или ядер). . Когда в микромире царит квантовая механика. Там нельзя взять линейку, отметить ее и измерить, оказалось, что теории и данные согласуются при наложении постулата вероятности. Нужно сделать много измерений и получить распределение вероятностей для особенно желаемого значения.

В приведенной выше ссылке обсуждаются постулаты квантовой механики, которые не были навязаны из-за причудливого воображения, но были необходимы для расчета и сопоставления известных наблюдений, таких как атом водорода, и предсказания результатов экспериментов и наблюдений.

РЕДАКТИРОВАТЬ , чтобы решить последнюю часть вопроса:

((Если вы попросите меня заняться исследованиями в области теоретической физики, я выброшу все книги по квантовой механике в мусор (не оставляя без внимания) и начну думать с этой точки зрения... Это мой стиль работы!)

То, что работает для искусства, искусство гораздо меньше зависит от баз данных наблюдений и инструментов, которые можно использовать.

Тот факт, что в течение двух тысячелетий люди создавали модели физических наблюдений, а особенно последние 300 лет — базу данных математических инструментов, сдерживает творчество в науке. Математические инструменты использовались для моделирования всех наблюдений до сих пор. Эти модели являются своего рода кратким описанием природы, которое можно использовать по-разному, вместо того чтобы обращаться к самим данным. Существует граница экспериментальных исследований, где модели еще не подтверждены, и именно здесь может появиться новое мышление.

Мой ожидаемый ответ примерно такой: «Эй, если ты пойдешь в этом направлении, ты обязательно окажешься в зыбучих песках по такой-то и такой-то причине».

Если вы пойдете в направлении отбрасывания всего, вы в конечном итоге получите расплывчатые модели, такие как модель атома Демокрита или, по вашим собственным словам, теория флогистона. Математические модели, используемые в настоящее время, проверены, некоторые из них с большой точностью. Новые математические инструменты для моделирования уже смоделированных данных заслуживают внимания только в том случае, если в экспериментах будет предсказано и обнаружено что-то новое и неожиданное.

Есть люди, работающие по проторенным теориям, пытаясь объяснить квантовую механику с помощью лежащих в ее основе детерминистских теорий. Эти люди хорошо знакомы с существующими математическими инструментами и проверенными физическими моделями. Они просто хотят работать на передовой, игнорируя то, что основная физика считает их усилия противоречивыми или невозможными/запрещенными постулатами квантовой механики и специальной теории относительности. Примером могут служить текущие исследовательские интересы Г.'т Хоофта, который также принимал участие в этом мероприятии некоторое время назад.

Так что, если вы пойдете в этом направлении, вы наверняка окажетесь в зыбучих песках, если у вас нет глубоких знаний о данных и математических инструментах, используемых физикой до сих пор. Если вы приложите усилия, чтобы получить их, то, конечно, вы вольны доказать, что господствующая физика «неверна», если ваша новая теория может приспособить стенограмму данных моделей до сих пор. Все новые теории по мере их появления в физике плавно стыковались со старыми, как предельные случаи.

Я считаю, что ключевыми словами здесь являются инвариантность к сдвигу во времени, поток , состояние, линейность (или однородность), непрерывность и унитарность, и ответ на ваш вопрос совершенно не зависит от того, занимаемся ли мы квантовой механикой или нет.

Предположим, мы блуждаем в темноте, пытаясь описать какое-то новое явление, как это делали первые (фактически 1920-е годы) физики. В традиции Лапласа вы надеетесь, что детерминистическое описание системы сработает (а та часть КМ, которая использует комплексные числа, а именно эволюция унитарного состояния, полностью детерминистична). Итак, мы начнем с состояния : некоторая информация — массив чисел.$\psi$- настоящие пока, если хотите, - которые полностью определят будущее (и прошлое) системы, если система будет отделена от остальной Вселенной .

Итак, у нас есть некоторые$\psi\in\mathbb{R}^N = X$это наше основное описание .

Теперь изолированная система развивается сама по себе: с течением времени система каким-то образом изменяется. Позволять$\varphi: X\times\mathbb{R}\to X$быть нашей операцией эволюции времени: для$x\in X$ $\varphi(x,t)\in X$это то, во что государство превращается через некоторое время$t$. Более того, описание не может зависеть от того, когда мы позволим этому случиться: оно должно обладать базовой инвариантностью к сдвигу во времени. Результаты эксперимента не могут зависеть от того, сделаю ли я это сейчас или подожду, пока выпью свою чашку чая. Итак, описание изменения в некотором интервале времени$\Delta t$должно быть таким же, как и для изменения любого другого$\Delta t$. Если мы не взаимодействуем с системой, то нет привилегированных интервалов времени. Следовательно, мы должны иметь:

$$\varphi(x,t+s) = \varphi(x,s+t) = \varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(\varphi(x,s),t),\;\forall s,t\in\mathbb{R}$$

и

$$\varphi(x,N \Delta t) = \underbrace{\varphi(\varphi(\cdots \varphi(\varphi(}_{N\ \text{iterations}}x,\overbrace{\Delta t),\Delta t)\cdots,\Delta t)}^{N\ \text{iterations}}$$

Итак, из нашего коперниканского понятия инвариантности к сдвигу во времени у нас есть наша первая следующая большая идея: поток, определяемый оператором перехода состояния$\varphi$. Таким образом, наши операторы перехода между состояниями образуют непрерывную группу с одним параметром. Здесь мы применили нашу фундаментальную идею непрерывности .

Может показаться, что это говорит (поскольку у нас теперь есть однопараметрическая группа Ли ), что единственными системами, удовлетворяющими этим идеям, являются линейные, но это не совсем так: группа Ли действует только на$X$так что всегда есть возможность какой-то местной,$X$-зависимое нелинейное «растяжение» или «сжатие» пути. Итак, теперь мы делаем предположение о линейности системы или о каком-либо другом понятии однородного действия (так что интуитивно$\varphi(-,t):X\to X$сохраняет некоторую локальную «структуру» нашего пространства состояний$X$). Тогда единственный непрерывный, линейный, однородный оператор потока перехода состояния на$X$является:

$$\varphi(x, t) = \exp(H\,t) x \stackrel{def}{=} \left({\rm id} + H\,t + H^2\,\frac{t^2}{2!} + H^3\,\frac{t^3}{2!} + \cdots \right) x$$

для некоторого линейного оператора$H:X\to X$.

Итак, теперь, чтобы исследовать поведение этой базовой модели, нам нужно подумать о собственных значениях$H$, так что, например, мы можем «спектрально факторизовать» оператор («диагонализировать» его — или, по крайней мере, максимально приблизиться к его диагонализации — но это всегда можно сделать в КМ). Естественным домом для собственных значений оператора являются$\mathbb{C}$, нет$\mathbb{R}$, поскольку первое является алгебраически замкнутым полем , а второе — нет. Существуют конечномерные линейные операторы, характеристические уравнения которых имеют решения в$\mathbb{C}-\mathbb{R}$. Кроме того, мы должны учитывать поведение$e^{\lambda\,t}$где$\lambda$являются собственными значениями$H$(это легко сделать в конечномерном пространстве — для бесконечномерного пространства см. здесь мой ответ на вопрос Physics SE «Являются ли все состояния рассеяния ненормализуемыми?» ) — как это согласуется с нашей физикой?

Если для любого собственного значения$\lambda$действителен и положителен, или если комплекс и его действительная часть действительна и положительна, наш вектор состояния расходится до бесконечной длины как$t\to\infty$. Если все они комплексные с отрицательной вещественной частью, то наш вектор состояния быстро сужается до нулевого вектора. Даже до того, как мы должным образом сформулируем идею амплитуды вероятности, у нас может сложиться представление о том, что мы «хотим, чтобы как можно дольше сохранялось как можно больше состояний». свернуть в то же состояние$0\in X$. Таким образом, все собственные значения полностью мнимы, так что$e^{\lambda\,t}$имеет ограниченную величину, которая не стремится ни к бесконечности, ни к нулю, может быть справедливой ставкой. Обращая на это более пристальное внимание: иметь$\exp(H\,t)$сохранение длины может быть еще одним разумным предположением. Самая простая «длина» в пространстве состояний, конечно,$\mathbf{L}^2$один. Итак, теперь мы могли бы постулировать, даже до того, как наши идеи об амплитуде вероятности в КМ полностью выкристаллизовались, что:

Оператор$\exp(H\,t)$унитарный

Это эквивалентно означает, что:

$H$является косоэрмитовым

или что наш оператор$\exp(i\,\hat{H}\,t)$где:

$\hat{H}$является эрмитовым

Эрмитовы операторы при очень мягких предположениях всегда диагонализируемы и всегда имеют действительные собственные значения. Итак, такие сущности, как$\exp(i\,\omega\,t)$где$\omega \in \mathbb{R}$неизбежны в наших расширениях оператора перехода состояния .

Теперь вы правы, и мы могли бы сохранить все в реальности, использовать$\cos$и$\sin$вместо этого и сохранить наше пространство состояний как$\mathbb{R}^{2 N}$были бы у нас$\mathbb{C}^N$в обычном описании. Решим ли мы выделить такой объект, как:

$$\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\in U(1), SU(2), SO(3), U(N) \cdots$$

и дайте ему специальный символ$i$где$i^2=-1$является «делом вкуса», поэтому в этом смысле использование комплексных чисел не является существенным. Тем не менее, мы должны были бы встретить этот объект при декомпозиции нашего оператора перехода состояния и$H$,$\hat{H}$операторы и им подобные, и им придется обрабатывать операторы, связанные с такими объектами при описании физики - это невозможно обойти. Так, в частности, если мы имеем ограниченное, но постоянное волновое поведение, мы должны сталкиваться с парами состояний в нашем$\mathbb{R}^{2 N}$представительство обычного$\mathbb{C}^N$которые развиваются со временем через линейные дифференциальные операторы с подматрицами, такими как$i$объект выше.

Таким образом, вы действительно видите, что комплексные числа очень естественно возникают из очень классических и действительно ренессансных идей таких людей, как Лаплас, Коперник, Лейбниц, Галилей и Ньютон. У нас просто есть лучший и более совершенный математический язык, чтобы гладко говорить об этих идеях там, где эти ребята бродили наощупь в темноте.

И теперь, если мы сохраним линейность, но откажемся от инвариантности к сдвигу во времени (скажем, у нас есть некоторый «контроль» над нашим линейным оператором$H(t)$: у нас может быть электрон в классическом магнитном поле, которое мы можем изменять, например, чтобы «управлять» состоянием электрона), мы все еще получаем большинство из вышеперечисленных идей. Пока решаем:

$${\rm d}_t U(t) = H(t) U(t)$$

что мы можем представить себе как наличие нескольких циферблатов, чтобы управлять нашим членом алгебры Ли$H$в касательном пространстве при$U$к группе Ли операторов перехода состояний.$H$должны оставаться косоэрмитовыми и$U\in U(N)$(если наша система конечномерна). См. здесь мои ответы на вопрос Physics SE «Почему уравнение Шредингера можно использовать с зависящим от времени гамильтонианом?» а также, для практического примера, здесь, к вопросу Physics SE «фиксированное состояние входного кубита в произвольное чистое состояние с использованием двух переменных вращений и одного фиксированного вращения»

Корпускулярно-волновой дуализм — это «предыстория» квантовой механики. Глядя на квантовую механику, гораздо интереснее взглянуть на представление Хайзенберга, где положение и импульс являются операторами, зависящими от времени, а состояния$|\psi\rangle$не.

Квантовые ограничения выражаются коммутационными соотношениями:

$[X(t), P(t')]_{|t=t'} = Constant ~~\mathbb I_d$

Здесь «Константа» — действительная или мнимая величина, не зависящая от$t$(в$t=t'$), и$\mathbb I_d$является тождественным оператором (который коммутирует со всеми операторами)

Теперь возникает вопрос: должны ли мы выбрать эту константу как чистое действительное значение или как чисто мнимое значение?

Потому что$X(t)$и$P(t')$являются эрмитовыми операторами, их коммутатор антиэрмитов, поэтому единственная математическая возможность состоит в том, что константа является чисто мнимой:

$[X(t), P(t')]_{|t=t'} = i \hbar ~~\mathbb I_d \tag{1}$

Теперь мы можем вернуться к представлению Шредингера и к волновой функции$\psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle$

С$\psi(x,t)$, мы должны найти представление для операторов$X$и$P$, которые относятся к$\psi(x,t)$, так что теперь эти операторы больше не зависят от времени, но их определение должно быть совместимо с их коммутационными соотношениями, найденными в$(1)$, поэтому самое простое решение:

$P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$

Теперь представьте волновую функцию, соответствующую постоянному импульсу$p$и энергия$E$, то обязательно он должен иметь вид :

$\psi(x,t) \sim e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} = e^{i(k x-\omega t)}$

У нас есть$P\psi(x,t) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x,t)= p\psi(x,t)$

[Энергетический оператор$E$определяется как$E = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$]

Итак, вы видите, что вы не можете «сбежать» к воображаемому представлению, оно кажется совершенно естественным в контексте квантовой механики.

Комплексные числа так же реальны, как и действительные числа. Назвать их воображаемыми — это просто назвать их, но они есть. В некоторых приложениях они являются отличным сокращением и способом избежать множества гониометрических функций и подобных «сложных» вычислений (прекрасным примером является применение вращения — вместо того, чтобы вычислять снова и снова, sinвы cosпросто умножаете на комплексное число; очень удобно в компьютерной графике). Можно ли обойтись без использования отрицательных чисел? Или ноль? Конечно, можно, это только все усложнит. Это просто способ сэкономить время и место и сделать все проще для выражения и понимания.

Если вы относитесь к комплексным числам как к чему-то особому, «не реальному», вы совершаете ту же ошибку, что и древние люди и математики, когда они аналогичным образом отвергали отрицательные числа, нуль или иррациональные числа. Это здесь. Это делает работу. Почему мы используем матрицы для выражения набора линейных уравнений? Нам не нужно, это просто удобно. Можно ли выразить ньютоновскую физику без векторов? Конечно, вы можете, но теперь вы утроили количество уравнений без всякой причины. Если у вас есть лучший инструмент или представление для работы, вы используете его. Это единственный способ не отставать от возрастающей сложности того, чем вы занимаетесь. И не имеет значения, говорите ли вы о математике, физике или программировании — парень, который продолжает использовать устаревшие инструменты, тоже устаревает.

В общем, конечно, вы могли бы выразить QM без комплексных чисел. Но это не изменит основных принципов, вы просто получите другое (и на самом деле более сложное) выражение того же самого.