Замедление времени под действием гравитации

Я не называю это гравитационным замедлением времени, потому что это релятивистский эффект, обусловленный принципом эквивалентности. ... Но ОТО предсказывает это только через ускорение системы отсчета и, таким образом, введение относительности. Я не вижу никакой относительности в моем случае. Это просто искривление пространства-времени.

У вас есть гравитационное замедление времени. Но даже если это так не назовешь, в любом статичном, искривленном пространстве-времени с замедлением времени между стационарными часами, по крайней мере, часть часов обязательно ускоряется. Статическое пространство-время имеет привилегированное времяподобное направление, в котором геометрия остается неизменной, а его метрический тензор$g$поэтому можно представить в следующем виде:

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,\mathrm{d}t^2 + h_{ij}\,\mathrm{d}x^i\,\mathrm{d}x^j\text{,}$$ где $\phi$есть функция, которая может зависеть от любых пространственных координат $x^i$( $i = 1,2,3$), но не на $t$. Часы, стационарные в этом пространстве-времени, будут иметь четыре компонента ускорения. $a^\alpha = g^{\alpha\beta}\phi_{,\beta}$. Если есть некоторое замедление времени между стационарными часами в разных положениях, то $\phi$не постоянна по пространственным координатам, поэтому по крайней мере некоторые из частных производных $\phi_{,\beta}$не исчезают: следовательно, некоторые (возможно, все) стационарные часы обязательно ускоряются.

Кроме того, любая теория, в которой пробные частицы при свободном падении проходят геодезические в искривленном пространстве-времени, автоматически удовлетворяет принципу слабой эквивалентности.

ОТО объясняет это следующим образом: предположим, вы падаете из космоса на землю, в более высоком положении ваша скорость не очень высока, и поэтому вы испытываете меньшее замедление времени (поскольку замедление времени напрямую зависит от вашей скорости), в то время как, когда вы получаете ближе к поверхности ваша скорость становится выше, и вы испытываете большее замедление времени.

Нет. Рассмотрим двух наблюдателей, стационарных в гравитационном поле, один над другим, разделенных высотой, вдоль которой гравитация не сильно меняется (поэтому мы можем аппроксимировать гравитационное поле как однородное). Поскольку они ускоряются, ситуация эквивалентна нахождению их вне гравитационного поля, но в ракете с вертикальным ускорением.

Допустим, ракета прозрачная. Тогда горизонтальный луч света, попадающий в ускоряющую ракету, будет изгибаться вниз в корпусе ракеты. Таким образом, это должно происходить и в случае гравитационного поля. С несколькими отражениями светового луча эта ситуация идентична вашей установке.

Не приведет ли это также к замедлению времени в более высокой гравитационной области (где сила тяжести больше)?

Да.

Может ли это быть реальной причиной гравитационного замедления времени или нет?

Вроде, как бы, что-то вроде. Вместо того, чтобы пропускать световой луч горизонтально, было бы гораздо проще провести его вертикально. Предположим, что два наблюдателя, стационарные в гравитационном поле, один над другим, разделенные достаточно малой высотой, чтобы гравитация не сильно менялась над ним, посылают друг другу световые импульсы через равные промежутки времени (согласно их расчетам). Эта ситуация тогда эквивалентна тому, чтобы делать то же самое вне гравитационного поля, но в ракете с вертикальным ускорением. Тогда становится очевидным, что низ получает сигналы со скоростью, отличной от скорости, с которой их посылает верх, так как низ догоняет световые импульсы во время их прохождения.

Опять же: на самом деле это не относится к GTR. Аргумент был бы практически идентичен в любом искривленном статическом пространстве-времени, потому что стационарные наблюдатели в таком пространстве-времени ускоряются. Затем мы можем рассмотреть ситуацию в локальной инерциальной системе отсчета, а все остальное следует тому же, что и выше. Ключевой релятивистский вывод заключается просто в том, что гравитационные поля исчезают в инерциальных системах отсчета.

Даже ОТО предсказывает, что часы будут идти медленнее в условиях высокой гравитации, но на самом деле не объясняет причину.

Обычное представление рассуждений ОТО относительно гравитационного замедления времени включает в себя установку, морально эквивалентную вашей, за исключением того, что чаще всего она представлена ​​проще, потому что световые лучи идут в том же направлении, что и ускорение, — это проще. Это не имеет никакого отношения к скорости, набранной при падении, как вы, кажется, думаете.

---

Вы написали, что дно принимает сигналы с разной скоростью. Но я хотел бы напомнить вам, что гравитация не вызывает никакого изменения скорости света, когда свет вертикальный. Пожалуйста, объясни.

Единственная разница заключается в ориентации световых часов. Скорость света одинакова в каждой инерциальной системе отсчета, и в инерциальной системе отсчета, мгновенно сопутствующей световым часам (свободно падающей из состояния покоя), оба конца световых часов ускоряются вверх. Таким образом, нижняя часть ускоряется по направлению к нисходящему импульсу, а верхняя ускоряется по направлению к восходящему импульсу, поэтому расстояние, которое проходят эти импульсы, различно.

Что касается того, как выглядит ситуация в стационарной системе отсчета, то координатная скорость света вверху световых часов отличается от координатной скорости света внизу. При явной радиальной координате приведенная выше метрика (без$c=1$единиц) есть

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,c^2\,\mathrm{d}t^2 + h_{rr}\,\mathrm{d}r^2 + \{\text{other spatial terms}\}\text{,}$$ чтобы вертикальный свет имел $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right| = c\frac{e^{\phi}}{\sqrt{h_{rr}}}\text{.}$$ Так как верхняя часть имеет правильное время $\tau_\text{top}$с $\mathrm{d}\tau_\text{top} = e^{\phi_\text{top}}\,\mathrm{d}t$и нижняя часть имеет собственное время $\tau_\text{bot}$с $\mathrm{d}\tau_\text{bot} = e^{\phi_\text{bot}}\,\mathrm{d}t$, обычно с $\phi_\text{top}\neq\phi_\text{bot}$, они не согласятся с количеством времени, за которое вертикальные световые импульсы проходят один и тот же $r$-координатный интервал.

Кстати, ОТО предсказывает, что для слабых полей (подходящих вблизи нашей Земли)$h_{rr} \approx e^{-\phi}$и$\phi\approx\Phi/c^2$, где$\Phi$— ньютоновский гравитационный потенциал. Но вышеизложенное сохраняет дискуссию общей для любого статического пространства-времени, независимо от того, согласуется ли оно с тем, что предсказывает ОТО для данной ситуации, или нет.

Я не понял, чем случай с двумя наблюдателями похож на один в ракете вне космоса, как вы сказали.

В локальной инерциальной системе отсчета два наблюдателя ускоряются вверх. Условие, что гравитационное поле не сильно меняется на соответствующей высоте, означает, что мы можем считать их ускорение одинаковым. Это ускорение ракеты, но вы можете забыть о ракете, если хотите, и просто рассмотреть то же ускорение в локальной инерциальной системе отсчета.

Я не называю это гравитационным замедлением времени, потому что это релятивистский эффект, обусловленный принципом эквивалентности.

Обратите внимание: принцип эквивалентности гласит, что гравитация вниз эквивалентна ускорению вверх. Теперь от этого Эйнштейн перешел к формулировке общей теории относительности, где гравитационное ускорение заменено искривлением пространства (времени) . Итак, в классической механике гравитация — это ускорение, а в ОТО — гравитация как кривизна. Итак, если мы примем это определение за верное, мы получим гравитационное замедление времени в обоих случаях.

В любом случае, вернемся к вашему вопросу:

Вышеупомянутые часы (это часы в правой части изображения) находятся далеко от земли и испытывают меньшую гравитацию. Поэтому световой луч будет меньше искривляться и быстрее достигать принимающего конца.

Не приведет ли это также к замедлению времени в более высокой гравитационной области?

Похоже на то :) Вот так "графически" ОТО объясняет замедление времени.

Если 1 секунда определяется как период, за который световой луч проходит от излучателя к приемнику, а световой луч часов, стоящих выше, занимает меньше времени, чтобы пройти от одного до другого, то, как вы говорите, эти часы тикали бы быстрее, чем часы, расположенные ниже. Поэтому 1 секунда на Земле больше времени по сравнению с 1 секундой над Землей. Таким образом, часы, расположенные выше, идут быстрее, а часы, расположенные ниже, идут медленнее .

Не приведет ли это также к замедлению времени в более высокой гравитационной области (где сила тяжести больше)? Может ли это быть реальной причиной гравитационного замедления времени или нет?

Да, именно так и происходит. По этой причине GPS необходимо учитывать разное время на орбите и на поверхности Земли.

Дополнение: Что касается комментариев о возможных экспериментах, это тоже способ измерить эффект.