Замена переменных после преобразования Лежандра

Question

АнонимноеЛюбительское

У меня есть внутренняя энергия системы как функция энтропии $S$ , количество частиц $N$ и объем $V$ :

U (С, В, Н) "=" (\frac{в_{0} θ}{р^{2}}) \frac{С^{3}}{Н В}

$U(S,V,N) = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV}$ Мне нужно найти химический потенциал

μ

$\mu$ как функция

T

$T$ ,

V

$V$ и

N

$N$ . Я выполнил следующее преобразование Лежандра:

Ф "=" U - Т С "=" (\frac{в_{0} θ}{р^{2}}) \frac{С^{3}}{Н В} - Т С

$F = U - TS = \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{NV} - TS$ Из первого и второго законов термодинамики:

г Ф (Т, В, Н) "=" - С г Т - п г В + мю г Н

$dF(T,V,N) = -SdT - pdV + \mu dN$ Поэтому естественные переменные

F

$F$ являются

T

$T$ ,

V

$V$ и

N

$N$ . Также

F

$F$ имея точное дифференциальное среднее, я могу написать:

мю (Т, В, Н) "=" \frac{\partial Ф}{\partial Н} (Т, В, Н) "=" - (\frac{в_{0} θ}{р^{2}}) \frac{С^{3}}{Н^{2} В}

$\mu(T,V,N) = \frac{\partial F}{\partial N}(T,V,N) = - \left(\frac{v_0 \theta}{R^2} \right)\frac{S^3}{N^2V}$

Как рассчитать $S(T,V,N)$ подставить в приведенное выше уравнение и, таким образом, избавиться от явного $S$ ?

Тобиас Фюнке · Answer 1

Обратите внимание, что

Т (С, Н, В) "=" \frac{\partial U}{\partial С} (С, Н, В)

$T(S,N,V) = \frac{\partial U}{\partial S} (S,N,V)$

и что при определенных условиях на эти функции мы можем обратить это соотношение, чтобы найти $S(T,N,V)$ . Затем мы определяем

Ф (Т, Н, В) "=" U (С (Т, Н, В), Н, В) - Т С (Т, Н, В) .

$F(T,N,V) = U(S(T,N,V),N,V) - T S(T,N,V) \quad .$

Итак, все $S$ которые появляются в правой части приведенного выше уравнения, понимаются как функции $T,N,V$ . Действительно, мы находим

\frac{\partial Ф}{\partial Т} (Т, Н, В) "=" - С (Т, Н, В) .

$\frac{\partial F}{\partial T} (T,N,V) = -S(T,N,V) \quad .$

См., например, Статистическая теория тепла. Флориан Шек. Спрингер , глава 2.