Значение dxdxdx в неопределенном интеграле

Question

Значение dxdxdx в неопределенном интеграле

исчисление
обозначение
интеграция
Математика
дифференциал
неопределенные интегралы

Андрексема

В этом семестре я впервые сдаю интегральное исчисление. Мы начали с дифференциала (т.е. $dy=f'(x)\,dx$ ) и сразу после этого с неопределенным интегралом. С тех пор я пытаюсь разобраться в $dx$ когда это часть неопределенного интеграла (т.е. $\int f(x) \, \boldsymbol{dx}$ ). Я знаю, что на этот вопрос уже есть миллион ответов, но все они относятся к определенному интегралу, а те, что касаются неопределенных интегралов, говорят только такие вещи, как «это просто синтаксический прием, чтобы сказать вам переменную, которую нужно дифференцировать по отношению к или переменная интегрирования » (Ihf, 2012, Интернет). Мне не нравится этот ответ, особенно потому, что меня учили, что учитывая две функции $f(x)$ , $g(x)$ и первообразная их произведения $\int f(x)g(x)\,dx$ , если бы я назначил $f(x)$ к $u$ и $g(x)\,dx$ к $dv$ чтобы интегрировать по частям, то мне пришлось бы интегрировать $dv$ найти $v$ . Это имеет смысл только в том случае, если $dx$ означает что-то само по себе и не является просто причудой обозначения, иначе мы получили бы что-то вроде следующего:

\int г (Икс) д Икс д Икс

$\int g(x)\,dx\space dx$

После долгих размышлений я считаю, что наконец-то нашел способ разобраться в этом. $dx$ как что-то, что не является чисто и просто устройством записи. Мои рассуждения таковы:

Учитывая функцию $f(x)$ , позволять $y=f(x)$ . Затем $\frac{д у}{д Икс} "=" ф^{'} (Икс)$ $\frac{dy}{dx}=f'(x)$
Тогда из основной теоремы исчисления мы знаем, что $\int \frac{д у}{д Икс} д Икс "=" у$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=y$
Позволять $dy=f'(x)\,dx$ . Тогда уравнение $д у "=" \frac{д у}{д Икс} д Икс$ $dy=\frac{dy}{dx}\,dx$ держит и $\int \frac{д у}{д Икс} д Икс "=" \int д у "=" у$ $\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int dy=y$
Наконец, проинтегрируйте обе части уравнения $dy=f'(x)\,dx$ для того, чтобы $\int д у "=" \int ф^{'} (Икс) д Икс ⟹ у "=" ф (Икс)$ $\int dy=\int f'(x)\,dx\implies y=f(x)$

Отсюда я заключаю, что, интегрируя функцию, мы на самом деле интегрируем дифференциал этой функции. Для меня это имеет смысл, хотя я знаю, что кажущиеся логичными вещи не обязательно логичны. Вот почему я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог сказать мне, является ли вышеизложенное математически правильным или чистой тарабарщиной.

PS, я никогда раньше не писал математическое доказательство и еще не посещал курсы доказательств, так что любые предложения приветствуются.

Ссылка: lhf . (2012, 9 мая). Что значит $dx$ иметь в виду? . Математический стек Exchange. https://math.stackexchange.com/q/143262

Нинад Мунши

Я должен сказать, что это очень логичный и методичный анализ для того, кто никогда раньше не делал доказательства. Именно так профессионалы обрисовывают свои идеи, прежде чем пытаться выискивать дыры или доказывать их существование.

РобертТьютор

Это очень хорошо. Всякий раз, когда у меня возникают проблемы с пониманием

d -

$d-$ что-то или другое, я положил это на

d t

$dt$ сделать его производной функцией и положить

d t

$dt$ рядом с ним. Кажется, это работает для работы с дифференциалами в целом. Если возможно, сведите все к одному и тому же простому случаю.

Артур

Я убежден, что неопределенные интегралы в целом - это всего лишь причуда обозначений, означающая «антидифференцируемость». Он только должен выглядеть как определенный интеграл, потому что фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что эти две операции тесно связаны. Конечно, это не значит, что смысл нельзя навязывать.

d x

$dx$ в неопределенном интеграле. Просто это не то, о чем я лично беспокоюсь.

трава стейнберг

Вы всегда можете рассматривать неопределенный интеграл как определенный интеграл с неопределенным нижним пределом.

F (x) = \int^{x} f (y) d y

$F(x)=\int^x f(y)dy$ представляет собой неопределенный интеграл от

f (x)

$f(x)$ .

Дж. Г.

Если

u = f (x), d v = g (x) d x

$u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ затем

v = \int d v = \int g (x) d x

$v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , пока

\int v d x = \int (\int g (x) d x) d x

$\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . Количество

d

$\mathrm{d}$ s всегда равно количеству

\int

$\int$ с.

Винтер

Связанный вопрос: есть

\frac{d y}{d x}

$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ не соотношение? Это связано с этим вопросом, потому что вы используете это здесь, и материал, который вы делаете, демонстрирует, что это обозначение для интеграла очень полезно, поскольку оно позволяет вам выполнять такие «схематические» манипуляции, которые мы все делаем, рассматривая производные как дроби в интеграле, когда делать замены и тому подобное и получать правильный результат.

Ответы (2)

Значение dxdxdx в неопределенном интеграле

Я должен сказать, что это очень логичный и методичный анализ для того, кто никогда раньше не делал доказательства. Именно так профессионалы обрисовывают свои идеи, прежде чем пытаться выискивать дыры или доказывать их существование.
Это очень хорошо. Всякий раз, когда у меня возникают проблемы с пониманием $d-$ что-то или другое, я положил это на $dt$ сделать его производной функцией и положить $dt$ рядом с ним. Кажется, это работает для работы с дифференциалами в целом. Если возможно, сведите все к одному и тому же простому случаю.
Я убежден, что неопределенные интегралы в целом - это всего лишь причуда обозначений, означающая «антидифференцируемость». Он только должен выглядеть как определенный интеграл, потому что фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что эти две операции тесно связаны. Конечно, это не значит, что смысл нельзя навязывать. $dx$ в неопределенном интеграле. Просто это не то, о чем я лично беспокоюсь.
Вы всегда можете рассматривать неопределенный интеграл как определенный интеграл с неопределенным нижним пределом. $F(x)=\int^x f(y)dy$ представляет собой неопределенный интеграл от $f(x)$ .
Если $u=f(x),\,\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x$ затем $v=\int\mathrm{d}v=\int g(x)\mathrm{d}x$ , пока $\int v\mathrm{d}x=\int(\int g(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x$ . Количество $\mathrm{d}$ s всегда равно количеству $\int$ с.
Связанный вопрос: есть $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ не соотношение? Это связано с этим вопросом, потому что вы используете это здесь, и материал, который вы делаете, демонстрирует, что это обозначение для интеграла очень полезно, поскольку оно позволяет вам выполнять такие «схематические» манипуляции, которые мы все делаем, рассматривая производные как дроби в интеграле, когда делать замены и тому подобное и получать правильный результат.

epi163sqrt · Answer 1

Объяснение дано в разделе 2.9 «Основные теоремы исчисления» во «Введении в исчисление и анализ I» Р. Куранта и Ф. Джона.

Довольно принято использовать обозначение, которое не совсем понятно без комментариев: мы пишем
$\begin{aligned} Ф (Икс) "=" \int ф (Икс) д Икс \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{F(x) = \int f(x)\,dx} \end{align*}$ когда мы имеем в виду, что функция $F(x)$ имеет форму $\begin{aligned} Ф (Икс) "=" с + \int_{а}^{Икс} ф (ты) д ты \end{aligned}$ $\begin{align*} F(x) = c + \int_a^xf(u)\,du \end{align*}$ для подходящих констант $c$ и $a$ , то есть опускаем верхний предел $x$ , нижний предел $a$ и аддитивная константа $c$ и используйте письмодля переменной интегрирования.

Строго говоря, конечно, есть небольшое несоответствие в использовании одной и той же буквы для переменной интегрирования и верхнего предела $x$ которая является независимой переменной в $F(x)$ . Используя обозначение $\int f(x)\,dx$ мы никогда не должны упускать из виду связанную с ним неопределенность, т. е. тот факт, что символ всегда обозначает одну из примитивных функций $f$ только. Формула $F(x) = \int f(x)\,dx$ это просто символический способ записи отношения
$\begin{aligned} \frac{д}{д Икс} Ф (Икс) "=" ф (Икс) . \end{aligned}$ $\begin{align*} \color{blue}{\frac{d}{dx}F(x)=f(x)}. \end{align*}$

Эдгар · Answer 2

Примечание.
В математике может быть, что " $\int$ " и " $dx$ " считаются скобками, заключающими подынтегральную функцию:

\int ф (Икс) д Икс

$\int f(x)\;dx$ В физике может быть, что "

\int d x

$\int dx$ " используется как оператор, поэтому он предшествует подынтегральной функции:

\int д Икс ф (Икс)

$\int dx \;f(x)$

Значение dxdxdx в неопределенном интеграле

Андрексема

Нинад Мунши

РобертТьютор

Артур

трава стейнберг

Дж. Г.

Винтер

Ответы (2)

epi163sqrt

Эдгар

Кристоф

В чем заключается кажущееся противоречие в этом интеграле?

Вычислить ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{\frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Интегрируйте ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Вычислите ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Закрытая форма определенного интеграла от MIT Integration Bee 2006 г. [закрыто]

Вычисление неопределенного интеграла ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ справа)\!dx

Есть ли ограничения, которые я забыл для интегрирования с помощью тригонометрической замены, или я делаю какую-то другую ошибку?

Согласовать различные формы ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Как я могу интегрировать ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx }?

Интеграл: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?