Был ли Локк прав в том, что аналитическое знание бессодержательно?

Фреге является основателем программы под названием логицизм, целью которой было свести всю математику к логике. Чтобы свести математику к логике, Фреге пришлось расширить понятие логики. До него Локк, Кант и другие понимали под логикой только силлогистику Аристотеля , представляющую собой манипулирование простыми импликациями (силлогизмами). Логика Фреге пошла гораздо дальше и охватывала всю арифметику в частности, если не всю теорию множеств. Но выводимое только из логики — это то, что все трое подразумевали под «аналитическим». При логицизме вся математика была бы аналитической, включая многое из того, что Кант называл «априорным синтетическим» (но не части, относящиеся к геометрии и физике). Так что и Локк, и Фреге были правы, они просто имели в виду разные вещи под «аналитическим».

« Понятие аналитического Фреге было соответственно шире, чем у Канта. Кант требовал, чтобы концептуальные содержания были очевидны в пределах предложения, а не чтобы предложение отображалось как вывод, логически следующий из аксиом, чья собственная логическая или концептуальная истинность была самоочевидной и которые может содержать выражения, не встречающиеся в рассматриваемом предложении... Кант не рассматривал «7 + 5 = 12» как аналитическую истину. аксиомы рекурсии для сложения (которые сами должны были бы быть выведены логицистским способом). Итак, для фрегеанца, даже если не для Канта, «7 + 5 = 12» является аналитической истиной » .

Лучшей попыткой реализовать программу логицизма была книга Рассела и Уайтхеда Principia Mathematica. Однако после результатов Гёделя о неполноте программа стала рассматриваться как тупиковая, и от нее в значительной степени отказались. Позже Куайн убедительно доказал, что само различение аналитического/синтетического , даже в пересмотренной форме, принятой логическими позитивистами, вообще не может сохраняться. По Куайну, все знания, в том числе и законы логики, синтетические, а в конечном итоге эмпирические, это нанесло еще один удар по логицизму. Хотя больше не считается, что «вся математика» сводится к логике, современная математическая логика гораздо ближе к концепции логики Фреге, чем к кантовской или локковой.

Тезис Фреге заключался не в том, что математика в целом является аналитической, а именно в том, что таковой была арифметика (теория целых чисел). Фреге критиковал Канта за арифметику, но соглашался с Кантом в том, что геометрия была синтетической. Что касается того, что теорема Пифагора не может быть выведена из одного только определения треугольника, то здесь, конечно, нет спора.

Мы вообще хорошо поступим, если не переоценим степень родства арифметики с геометрией. . . Для целей концептуального мышления мы всегда можем допустить обратное той или иной аксиоме геометрии, не впадая в противоречия. . . Тот факт, что это возможно, показывает, что аксиомы геометрии независимы друг от друга и от примитивных законов логики и, следовательно, являются синтетическими. (Фреге, «Основы арифметики» , § 13 ) .