Была ли математика изобретена или открыта?

« Интуиционисты » считают, что математика — это всего лишь творение человеческого разума. В этом смысле вы можете утверждать, что математика изобретена людьми. Любой математический объект существует только в нашем сознании и как таковой не существует.

« Платоники », с другой стороны, утверждают, что любой математический объект существует, и мы можем «видеть» его только своим умом. Следовательно, в некотором смысле платоники проголосовали бы за то, чтобы математика была открыта.

Моя личная точка зрения такова, что математики придумали аксиомы и правила работы, остальное открыли . Математики изобрели обозначения для записи понятий, обнаруженных во вселенной аксиомы.

Понятие чисел существует, но мы изобретаем обозначение, согласно которому глиф «1» и звук /wʌn/ относятся к понятию единственного объекта, которое мы открыли. Мы изобрели правила умножения матриц, но последствия того, как мы делаем умножение матриц, обнаруживаются.

Большую часть времени мы намеренно изобретаем набор аксиом, которые приведут нас к открытию набора фактов, которые мы хотим, чтобы они были истинными. Это, безусловно, верно и для мнимых чисел, мы изобрели их, чтобы найти решения проблем, которые раньше не могли или с трудом решали.

Есть вещи, которые открываются, и вещи, которые изобретаются. Граница ставится в разных местах разными людьми. Я заношу себя в список и считаю, что моя позиция объективно оправдана, а другие нет.

Определенно обнаружено: конечный материал

По вероятностным соображениям я уверен, что никто в истории Земли никогда не производил следующее умножение:

9306781264114085423 х 39204667242145673 = ?

Тогда, если я вычислю его, изобретаю ли я его значение или обнаруживаю значение? Значение слов «изобретать» и «открывать» немного неясно, но обычно говорят «обнаружить», когда есть определенные свойства: есть ли у ценности независимые уникальные качества, о которых мы знаем заранее (например, странность)? Можно ли получить два разных ответа и считать оба правильными? и т.п.

В этом случае все согласятся, что значение найдено, поскольку мы действительно можем произвести вычисления --- и ни один (в здравом уме) не думает, что ответ выдуман, или что это не число ящиков. в прямоугольнике с соответствующими сторонами и т. д.

В этой конечной категории есть много нерешенных проблем, так что это не тривиально:

• Шахматы выиграны белыми, выиграны черными или ничья в идеальной игре?
• Каковы самые длинные предложения пираха без имен собственных?
• Какова длина кратчайшего доказательства в ZF теоремы о простых числах? Примерно?
• Каков список из 50 перекрещивающихся узлов?

Можно продолжать бесконечно, так как самые интересные математические задачи интересны и в конечной области.

Открыто: асимптотическое вычисление

Рассмотрим теперь произвольную компьютерную программу и остановится она или не остановится. Это проблема того, что называется «арифметическими предложениями Pi-0-1» в логике первого порядка, но я предпочитаю полностью эквивалентную формулировку с точки зрения остановки компьютерных программ, поскольку логический жаргон менее доступен, чем жаргон программирования.

Дана определенная компьютерная программа P, написанная на C (или каком-либо другом полном по Тьюрингу языке), соответствующим образом модифицированная для обеспечения сколь угодно большого объема памяти. Возвращает ли эта программа ответ за конечное время или работает вечно? Это включает в себя изрядный кусок самых известных математических гипотез, я перечисляю некоторые из них:

• Гипотеза Римана (в подходящей формулировке)
• Гипотеза Гольдбаха.
• Гипотеза о нечетных совершенных числах
• Диофантовы уравнения (например, последняя теорема Ферма)
• непротиворечивость ZF (или любого другого набора аксиом первого порядка)
• Гипотеза Кнессера-Поулсона о перестановке сфер

Вы можете верить одному из двух

• «Остановится ли P» имеет абсолютное значение , так что можно знать, истинно это или ложно, не зная, что именно.
• «Остановится ли P» становится значимым только после остановки P или доказательства того, что оно не останавливается в подходящей формальной системе, так что полезно ввести категорию «неизвестно» для этого вопроса и «неизвестно». «Категория не может в конце концов стать пустой, как это происходит в случае конечной задачи.

На этом интуитивисты останавливаются. Знаменитое имя здесь

• ЛЭЙ Брауэр

Интуиционистская логика разработана для случаев, когда есть вопросы, ответ на которые не определен как истинный или ложный, так что нельзя решить закон исключенного третьего. Эта позиция оставляет открытой возможность того, что некоторые компьютерные программы, которые не останавливаются, слишком сложно доказать остановку, и для этого нет никакого механизма.

Хотя интуитивизм полезен в ситуациях с несовершенными знаниями (как и у нас всегда), большинство математиков останавливаются не на этом. Существует твердое убеждение, что вопросы на этом уровне либо верны, либо ложны, мы просто не знаем, какие именно. Я согласен с этой позицией, но не думаю, что спорить с интуиционистской точкой зрения тривиально.

Большинство считает, что обнаружено: арифметическая иерархия

В математике есть вопросы, которые нельзя сформулировать как неостановку компьютерной программы, по крайней мере, без модификации понятия «программа». Это включает

• Гипотеза о простых числах-близнецах
• Превосходство e+pi.

Чтобы проверить эти вопросы, вам нужно пробежаться по случаям, где в каждой точке вы должны проверить, где останавливается компьютерная программа. Это означает, что вам нужно знать, что бесконечно много программ останавливаются. Например, чтобы узнать, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, вам нужно показать, что программа, которая ищет простые числа-близнецы, начиная с каждой найденной пары, остановится на следующей найденной паре. Чтобы ответить на вопрос о трансцендентности, вам нужно перебрать все многочлены, вычислить корни и показать, что в конечном итоге они отличны от e+pi.

Эти вопросы находятся на следующем уровне арифметической иерархии. Их вычислительная формулировка снова более интуитивна — они соответствуют задаче остановки для компьютера, который имеет доступ к решению обычной задачи остановки.

Вы можете подняться вверх по арифметической иерархии, и предложения, выражающие предположения об арифметической иерархии на любом конечном уровне, являются предложениями арифметики Пеано.

Есть те, кто считает, что арифметика Пеано является правильным основанием, и эти арифметически мыслящие люди остановятся в конце арифметической иерархии. Я полагаю, здесь можно было бы разместить Кронекера:

• Леопольд Кронекер: «Натуральные числа создал Бог, все остальное — дело рук человека».

Предполагать, что предложения в арифметической иерархии являются абсолютными, но никакими другими, — возможная позиция. Если вы включите аксиомы индукции в эти утверждения, вы получите теорию арифметики Пеано, которая имеет порядковую сложность, полностью понятную со времен Генцена, и описывается порядковым эпсилон-ноль. Эпсилон-ноль очень конкретен, но я видел недавние аргументы в пользу того, что он может быть необоснованным! Это совершенно нелепо для любого, кто знает эпсилон-ноль, и эта идея может показаться будущим поколениям столь же глупой, как и идея о том, что количество песчинок в сфере размером с орбиту Земли бесконечно — идея, явно опровергнутая в « Счетчик песка» Архимеда.

Большинство считают, что обнаружена: гиперарифметическая иерархия

Гиперарифметическая иерархия часто формулируется в терминах арифметики второго порядка, но я предпочитаю формулировать ее вычислительно.

Предположим, я даю вам все решения проблемы остановки на всех уровнях арифметической иерархии, а вы объединяете их в один бесконечный компакт-диск, который содержит решение всех этих задач одновременно. Затем проблема остановки с этим CD-ROM (полная арифметическая иерархия оракула остановки) определяет новую проблему остановки --- омега-й скачок 0 на жаргоне теории рекурсии или просто омега-оракул.

Вы можете повторять оракулы вверх по порядковому списку и создавать еще более сложные проблемы с остановкой. Вы можете подумать, что это имеет смысл для любых порядковых номеров, которые производят ленту.

В гиперарифметической иерархии есть различные точки остановки, которые обычно помечаются их арифметической версией второго порядка (которую я не знаю, как перевести). Эти позиции ни для кого не являются естественной точкой остановки.

Церковь Клини ординал

Я здесь. Все меньшее я принимаю, все сверх этого считаю объективно выдуманным. Причина в том, что ординал Черча-Клине является пределом всех счетных вычислимых ординалов. Это позиция вычислительных основ, и по сути это была позиция советской школы. Люди, которых я бы поместил сюда, включают

• Юрий Манин
• Пол Коэн

В случае с Полом Коэном я не уверен. Порядковые номера ниже Черча Клини - это все те, которые мы определенно можем представить на компьютере и с которыми можно работать, и любая более высокая концепция вызывает подозрение.

Первый неисчисляемый порядковый

Если вы создадите аксиоматическую теорию множеств с степенным множеством, вы сможете определить объединение всех счетных ординалов, и это будет первый несчетный ординал. Некоторые люди останавливаются на этом, отвергая несчетные множества, такие как множество действительных чисел, как изобретения.

Это очень похоже на мою позицию, которой придерживались люди на рубеже 20-го века, принявшие исчисляемую бесконечность, но не неисчислимую бесконечность. Среди тех, кто был здесь, были многие известные математики.

• Торвальд Сколем

Теорема Скулема была попыткой убедить математиков в том, что математика счетна.

Я должен указать, что порядковый номер Черча Клини не был определен до 1940-х годов, так что это была самая близкая позиция к вычислительной позиции, доступной в первой половине 20-го века.

Континуум

Большинство практически мыслящих математиков останавливаются на этом. Они опасаются таких конструкций, как набор всех функций на реальной линии, поскольку эти пространства слишком велики, чтобы интуиция могла с ними справиться. Не существует формальной фундаментальной школы, которая останавливается на континууме, это просто место, где люди перестают чувствовать себя комфортно в абсолютности математической истины.

В континууме есть вопросы, которые, как известно, неразрешимы с помощью методов, которые убеждают в том, что в данный момент это неопределенность в концепции множества, а не в системе аксиом.

Первый недоступный кардинал

На этом месте останавливается большинство платоников. Все, что ниже этого, описано ZFC. Я думаю, что самый известный человек здесь:

• Сахарон Шела

Я предполагаю, что это его платоническая вселенная, поскольку он прямо говорит об этом во вступлении к одной из своих наиболее известных ранних статей. Возможно, с тех пор он изменил свое мнение.

Бесконечно много кардиналов Вудина

Это то место, где останавливаются люди, которым нравится проективная определенность.

Вполне вероятно, что сторонники детерминированности верят в непротиворечивость детерминированности, и это дает им доказательства непротиворечивости кардиналов Вудина (хотя их аргумент звучит несколько теологически без надлежащего вычислительного обоснования в терминах невероятно сложного счетного вычислимого порядкового номера, который служит доказательством теория для этого)

Это включает

• Хью Вудин

Возможно изобретено: аксиомы ранжирования в ранге

Я скопировал это со страницы Википедии , это самые большие большие кардиналы, которые математики рассматривали на сегодняшний день. Вероятно, на этом останавливается большинство логиков, но они опасаются возможных противоречий.

Эти аксиомы являются аксиомами отражения, они делают теоретико-множественную модель сложной самоподобной в больших местах. Структура моделей чрезвычайно богата, а у меня вообще нет интуиции, так как я едва знаю определение (я только что прочитал его в Вики).

Изобрел: Рейнхард Кардинал

Это предел почти всех практикующих математиков, поскольку было показано, что они несовместимы, по крайней мере, с использованием аксиомы выбора. Поскольку большая часть структуры теории множеств сделана очень элегантно с выбором, а аргументы против выбора обычно не связаны с гёделевскими предположениями о больших кардиналах, люди предполагают, что кардиналы Рейнхардта непоследовательны.

Я предполагаю, что почти все работающие математики считают кардиналов Рейнхардта воображаемыми сущностями, что они являются изобретением, причем непоследовательным изобретением.

Определенно придумано: Набор всех наборов

Этот уровень самый высокий из всех, в традиционном порядке, и именно с него начинали в конце 19 века. Интуитивно понятный набор

• Набор всех наборов
• Порядковый предел всех порядковых номеров

Кантор показал, что эти идеи несовместимы, используя простой аргумент (рассмотрите порядковый предел плюс один или набор степеней множества всех множеств). Парадоксы были популяризированы и уточнены Расселом, а затем решены Уайтхедом и Расселом, Гильбертом, Гёделем и Цермело с использованием аксиоматических подходов, отрицавших этот объект.

Все согласны с тем, что это изобретение.

Это только частичный ответ:

Мне, как математику, время от времени задавали подобные вопросы. Как и большинство других математиков, я склонен уклоняться от ответа на этот вопрос, потому что он сложный. Обычно вопрос ставится в форме «Вы платоник?»

Здесь имеется в виду вечная форма Платона, которую мы можем распознать и которая позволяет нам распознавать мир вокруг нас (в конце концов, не очевидно, что мы все еще должны быть в состоянии распознать человека с ампутированной конечностью, когда мы впервые видим его). его или ее, например). Когда меня заставляют продолжать, я обычно отвечаю «Нет».

Я думаю, что основная проблема платонизма изложена в статье Брайана Дэвиса , метко озаглавленной «Пусть умрет платонизм». Я также добавляю - если математическое "открытие" еще не сделано, то существует ли оно? Платоник сказал бы абсолютно. Интуитивист либо сказал бы, что ее не существует, либо она существует только в том смысле, что какая-то современная или будущая математическая система, придуманная и вульгарно сформулированная людьми, приведет ко многим другим теоремам, т. е. она существует только как расширение того, что мы уже создали.

Но, в конечном счете, я не думаю, что это различие очень важно, если не считать теистических или нейронных импликаций. Платоник сказал бы, что когда мы распознаем, например, треугольник, это происходит потому, что мы распознаем Форму Треугольника, некий идеализированный, совершенный, трансцендентный объект. В этом есть большой смысл, потому что платонизм, очевидно, уходит своими корнями к Платону, который много читал о божественных отношениях между математикой и миром, поддерживаемых Пифагором.

В заключение я должен сказать, что многие известные математики лежат по обе стороны баррикад. Я считаю, что самым известным платоником является Роджер Пенроуз, наиболее известный своим созданием десятков неочевидных мозаик и мозаик.

Я думаю, что слова «изобретение» и «открытие» немного не подходят для описания рождения математики, если она вообще существует. Мне не имеет смысла говорить, что математика появилась, как когда Кристоф Коломб открыл Америку, или была изобретена как бумеранг.

Слово «математика» могло бы быть изобретено, язык, на котором написана математика, мог бы быть изобретен, но движение абстрагирования от реального слова, структурированный синтез, который оно предпринимает, — все это придает толщину самой математике (это зависит от того, что вы называете математикой). ) являются частью человечества. Вы не спрашиваете, была ли красота открыта или изобретена?

Моя личная точка зрения такова, что вопрос "что такое математика" был бы более серьезным, я бы нашел еще более интересным "зачем мы занимаемся математикой".

Я собираюсь утверждать, правда, без какого-либо исследования тех, кто предшествовал этим мыслям, что «изобретение» — это своего рода «открытие», и что то, квалифицируется ли вещь как изобретение, — да, вы это видели. приход — субъективно .

Например, мы могли бы сказать, что колесо было «изобретено» на основании (1) неприродности ( оригинальности ) и (2) намерения . То есть до появления колеса в природе не существовало кругло-осевых форм, и поэтому, конечно, никто не мог применить его для облегчения движения. Кроме того, трудно (сложнее) представить, что кто-то вырезает круг с отверстием, затем вырезает спицу, а затем соединяет их вместе, не имея в виду накатывания круга на спице. Эти обстоятельства дают нам основание говорить, что колесо было «изобретено».

Но также не невозможно представить, что кто-то мог вырезать круг с отверстием абсолютно без всякой причины, связанной с концепцией качения, а затем воткнуть палку в отверстие (опять же, без преднамеренной или релевантной причины). ), и только потом (или несколько позже) осознал свое свойство качения. Обратите внимание, что в данном случае мы более склонны называть колесо «открытием»!

Я думаю, что мы склонны называть новые открытия с заранее обдуманными результатами «изобретениями».

Итак, я бы сказал, что математика, как общая система обозначений/дедуктивности, в основном была изобретена. Но его концепции были обнаружены. (И даже некоторые обозначения действительно были обнаружены при стремлении к удобству, лаконичности и наглядности!)

Оба.

Формальная математика создается людьми и не обязательно связана с чем-либо в нашем мире.

Однако история и прогресс математики во много раз связаны с прикладной математикой, которая связана с нашим физическим миром.

Другими словами - геометрия останется в силе, даже если мы обнаружим, что она не верна для нашего физического мира (и на самом деле это не так...) - Но трудно поверить, что многие люди начали бы исследовать это. поле как чистое абстрактное поле, не имеющее отношения к реальным задачам строительства, навигации и т. д.

Математика — это абстракция. Таким образом, люди изобрели для работы с конкретными вещами более практичный способ, давая нам общие инструменты для работы с конкретными.

Позже было изобретено больше математики для работы с абстракциями более ранней математики, что привело к появлению все более и более сложных абстракций, но изобретение математики было сделано для работы с конкретными вещами, такими как геометрия и торговля.

Математика - это много вещей: есть базовые/сложные объекты/структуры, стратегии доказательства, алгоритмы, формальные манипуляции... чтобы попытаться ответить на ваш вопрос, я думаю, мы должны провести некоторые различия между различными математическими объектами/действиями, где " творческая» часть мысли более-менее актуальна. Более того, некоторые части математики кажутся не открытыми и не созданными, они кажутся просто «данными», встроенными в грамматику нашего естественного языка.

Некоторые примеры математических объектов/действий, которые:

• кажутся встроенными в нашу грамматику : классические логические операторы, классические правила вывода, тавтологии, натуральные числа
• кажутся более открытыми : нетривиальный общий факт в данной структуре (например, последняя теорема Ферма), поиск общих закономерностей, классификации, поиск контрпримеров
• кажутся более изобретательными : определение новых нетривиальных структур (например, комплексных чисел, кватернионов), поиск новых нетривиальных стратегий доказательства.

Во-первых, Куайн: «…[Если внешне верно] определения [математических законов] порождали бы все концепции из ясных и четких идей, а доказательства порождали бы все теоремы из самоочевидных истин». «... все истины логики очевидны или, по крайней мере, потенциально очевидны ... [но] математика сводится только к теории множеств, а не к собственно логике». -Эпистемология натурализованная; Глава 39.

Последствия для онтологической объективности математики мрачны. Чтобы свести факт к достоверности, необходимо представить сенсорные доказательства (чтобы быть «самоочевидным»). Подумайте, я вижу, что вещи падают на землю и остаются там. Я объясняю это себе с помощью физики. То, что я вижу, это не физика. Физика — это структура, придуманная для обобщения того, что я воспринимаю.

1 и 1 на листе бумаги — это не то же самое, что 2 на листе бумаги. Например, 1 — это наименьшее простое число, а 2 — наименьшее четное простое число среди множества других различий.

Яблоко на столе и яблоко на столе — это не то же самое, что два яблока на столе, так как набор из двух яблок может быть разными яблоками. Я не могу нарезать два яблока, кроме как сделать пирог. Но я не могу сделать пи с яблоком.

Стоимость доллара измеряется математически. Но если люди исчезают, бумажка остается, а ценность исчезает вместе с людьми. Вещи прилипают к земле независимо от нашего существования, но теория, описывающая наше восприятие гравитации, этого не делает.

Эпистемическая объективность математики онтологически субъективна. Он существует только в нашем сознании. То, что существует только в наших умах, может возникнуть только в наших умах. Что-то, что делает это, изобретено.

Это серьезный вопрос, и это то же самое, что сказать: знания в математике универсальны или это человеческий конструкт?

Пи (число вне зависимости от основания) и многие другие вещи являются универсалиями, до такой степени открыта математика. Затем их можно использовать для формализации изобретений, которые могут оказаться неправильными, правильными или парадоксальными, точно так же, как знания (обнаруженные) о лошадях и носорогах можно использовать для (изобретения и) рассуждений о единорогах (которые никогда не были обнаружены).

Можем ли мы сказать (как указывают многие ответы здесь), что биология была изобретена из-за единорогов?

Если "было ли это обнаружено?" вы имеете в виду "было ли это там все время?", я думаю, что ответ "да". Учтите, что мы можем использовать математику для «предсказания» прошлого («ретродиктация»). Похожая концепция — «прогнозирование», когда достоверность научной модели проверяется на данных, которые были записаны еще до того, как модель была изобретена. Предположительно, чтобы ретродиктия/прошлые прогнозы работали, математика должна была существовать все время, ограничивая эволюцию Вселенной. Если вы верите в этот аргумент, это предполагает, что математика существовала все это время или была «открыта».

Конечно, возможны и другие определения.

Я думаю, это трудно сказать. Если вы верите, что математика была открыта, вы должны предположить, что «что-то» существует снаружи, что-то, с чем мы можем взаимодействовать, существование чего мы до сих пор не смогли доказать.

Однако, даже если предположить, что существуют идеи, я считаю, что нет никаких оснований полагать, что люди каким-то образом должны быть способны их понять. Как сказал Дэвид Дойч, тот факт, что мы понимаем законы природы, очень похож на то, что вы приземляетесь на другую планету и находите инопланетян, полностью способных говорить с вами по-английски.

И последнее, но не менее важное: возможно, что наши модели устройства Вселенной совершенно неверны. Следовательно, мы говорим об идеях, выведенных из наших моделей, которые, в конечном счете, могут быть далеки от истины.

Я считаю, что математика — это система, изобретенная людьми для представления вещей, которые мы иначе можем или не можем воспринимать. Например, мы можем воспринимать объект с помощью зрения и знать, что это треугольник, однако само по себе наше зрение не говорит нам о длине катетов треугольника. Нам нужна математика, чтобы представить это для нас.

Просто в подтверждение моей точки зрения рассмотрим исчисление. Два человека, которые находились на совершенно разных концах Европы, Лейбниц и Ньютон, создали систему, которая делает одно и то же. Для Ньютона f'(x) совпадает с df/dx Лейбница. Оба они дают функцию, которая представляет наклон в любой заданной точке исходной функции f(x). Они изобрели систему для представления чего-то, что мы иначе не могли бы воспринять (что существовало ранее — формы горы должно быть достаточно, чтобы доказать, что склон существует естественным образом), единственная разница заключалась в их обозначениях.

Математика нормативна. Это ясно, когда читаешь рядом друг с другом Евклида и Лобачевского, или Евклида и Декарта, или Евклида и Лейбница или Ньютона, или Лейбница и Ньютона и Дедекинда, или Дедекинда и Кантона, или Кантона и Гёделя и т. д. и т. п. Геометрия явно нормативны, поскольку у нас разные геометрии (хотя можно сказать: «Да, но все они могут трансформироваться друг в друга»). Но аргумент звучит так: другой арифметики не существует; и, таким образом, в счете (и его расширениях) мы открываем нечто фундаментальное для Вселенной. Конечно, такой ответ предполагает, что Евклид и Дедекинд говорят об одной и той же арифметике. Это вообще возможно? Нет. В концепции числа Евклида нет места (вспомните книги V и VI « Элементов »).), для разрезов Дедекинда, и, таким образом, нет места для целого ряда чисел, несовместимых с евклидовой концепцией числа. И если вы считаете, что понятие числа является фундаментальным для концепции арифметики, то может показаться, что каждый раз, когда мы «добавляем» новые «виды» чисел (которые изобретаются с помощью новых видов функций), мы создаем новую арифметику. . Но кто-то может сказать: «Это все хорошо, но на самом деле мы просто подводим эти другие арифметические действия к тому, что мы называем арифметикой — на самом деле есть только одна арифметика». Но это все равно, что сказать: «Волновая механика на самом деле просто включает в себя обычную механику…». Такое утверждение не имеет никакого смысла.

В соответствии со многими другими исследованиями того, что означает «изобретать», изобретение и открытие можно рассматривать как одно и то же, поскольку оба требуют применения набора шагов вместе с различными рассматриваемыми объектами. Даже при открытии, скажем, континента, понятия континентальности и американости, тем не менее, являются изобретениями. И даже при изобретении, скажем, двигателя внутреннего сгорания законы физики, которые позволили такому устройству существовать, существовали еще до изобретения, и, таким образом, было обнаружено особое расположение частей, обуславливающее его существование.

Если бы мы только правильно поставили вопрос, мы могли бы получить правильный ответ. Проблема в том, является ли изобретение открытием или созданием? Как семь раз запатентованный изобретатель, я скажу вам, что изобретение, по крайней мере, в значительной степени является открытием. Как объяснил мой патентный поверенный, изобретается «метод», способ выполнения работы. В процессе изобретения человек пробует бесчисленное количество методов выполнения работы, которые не работают. Когда кто-то открывает метод, который действительно работает, что ж, у него есть изобретение.

Доказательство создания стихов открытия, является доказательством воспроизведения. Когда человек, который никогда раньше не видел колеса, пытается решить проблему перемещения тяжелых предметов, он вполне может заново изобрести колесо. Это постоянно происходит с изобретениями. Человек придумывает способ решения проблемы только для того, чтобы обнаружить, что кто-то еще запатентовал это изобретение до него. Творчество совсем не такое. Если два человека действительно независимо придумывают один и тот же творческий продукт, то их творческий продукт, ну, в общем, прост. На самом деле программы используются для анализа работ колледжа на предмет плагиата. Они ищут совпадения в последовательности из 7 слов, потому что маловероятно, что два человека независимо друг от друга придумают семь маленьких слов, связанных вместе одинаковым образом.

Итак, пусть вопрос будет таким: «Математика — открытие или творение?» Попросите антрополога найти математические методы других культур. Конечно, эти методы были бы крайними подмножествами нашей математики. Тем не менее, они все еще имеют некоторые простые консистенции. Два плюс два (хотя и представлены разными словами) равно четырем. Тот факт, что две культуры независимо создают одни и те же логические наборы, доказывает, что математика — это открытие, а не творение.

Немного того и другого. Человек изобретает математические понятия, а затем обнаруживает следствия этих понятий. Что-то вроде «определить линии и точки с помощью аксиом, а затем открыть свойства треугольника».

Потом желаешь разных последствий и изобретаешь новые концепции, что-то вроде «Я бы хотел, чтобы сумма углов треугольника была больше 180 градусов; давайте определим линии как большие окружности на сфере, а не линии на плоскости, и посмотрим, что получится».

И так продолжается и продолжается, изобретения идут рука об руку с открытиями.

Мой учитель начальной математики любит говорить

Бог создал число 0 и преемника . Остальное придумало человечество.

Я думаю, что в этой цитате есть доля правды, даже если вы не верите в Бога. Итак, отвечая на ваш вопрос: я бы сказал, что были открыты сами основы математики, но большая часть сложной математики была изобретена.

Обнаружено, если оно было изобретено, то тот, кто придумал π в теории, мог просто сделать его равным 3, но вместо этого они открыли его, и что это иррациональное число. Математика была открыта, но были изобретены различные методы и соглашения, используемые для вычислений. Вроде как, Физика; законы физики уже существовали, но человек открыл, как использовать их с пользой для себя в своих изобретениях.

Я думаю, что разница между обнаруженным и изобретенным в основном заключается в том, как человек определяет эти слова . Мое личное определение состоит в том, что когда вы можете разумно предположить, что многие другие люди в принципе могут найти то же самое X, то X можно с полным основанием считать открытым, но когда X довольно произвольно, как и конкретное обозначение, тогда оно изобретено. Например, разные люди могут обнаружить множество Мандельброта, а также различные отношения и фигуры в нем:

На изображении выше цвета — изобретение, а не открытие. Разные люди, возможно, выберут здесь одинаковую окраску, но я думаю, что это скорее художественный выбор. Цвета примерно отражают, насколько быстро точка на комплексной плоскости будет стремиться к бесконечности при определенной повторяющейся операции возведения в квадрат и сложения, но они зависят от многих параметров (в том числе от того, сколько итераций считается достаточным для установления своенравной природы точка), включая, конечно же, какую-то определенную цветовую палитру.

Я думаю, это прекрасно иллюстрирует, что у одного и того же математического зверя могут быть открытые и изобретенные аспекты. ;-)

Уравнение Блэка-Шоулза описывает изменение цены опциона на акции во времени. Поскольку концепция опционов на акции, финансовые рынки и так далее были изобретены, а не открыты людьми, достаточно ли этого в качестве аргумента в пользу того, что математика была изобретена? Если бы не было такого понятия, как опцион на акции, почти наверняка не было бы и уравнения Блэка-Шоулза. Уравнение Блэка-Шоулза никогда бы не ждало, пока мы его обнаружим, если бы не существовало таких вещей, как опционы на акции.

Если кто-то утверждает, что хотя опцион на акции был изобретен, можно сказать, что уравнение Блэка-Шоулза открыто, сколько еще математических теорем, уравнений, моделей и т. д. ждут своего открытия, зависящего от нашего будущего». изобретения и творения»?

Математика была изобретена как средство выражения чисел, отношений и т. д., в то время как законы математики были открыты.

Пи есть Пи, нравится вам это или нет. Его ценность была обнаружена . Однако выражение числа Пи в десятичном представлении с основанием 10 как 3,14* (или 22/7, если вы относитесь к такому типу людей) является изобретением человеческого разума, тогда как фактическое соотношение было таким с начала времен.

Короче говоря, математика — это человеческое изобретение для лучшего понимания и открытия того, как работает мир природы на чисто логическом уровне. Нужно отделить метод от наблюдаемого.

Математика — это система, созданная для количественной оценки, измерения, понимания и определения вещей с помощью математических доказательств , логики, аналитических рассуждений и общего понимания. Это также абстракция, поскольку фактическая теоретическая основа, данная для реализации чего-то, обычно будет атомарно отличаться на практике и т. д.

Математика — это бесконечное изучение догадок, с которыми соглашаются люди, подписавшиеся на такое явление. Математика веками использовалась для отслеживания вещей, измерения качеств вещей, а в наши дни — для анализа и интерпретации очень сложных предположений, теорий и объяснений всего, что нас окружает.

Было ли оно изобретено или обнаружено? С философской точки зрения, действительно ли что-либо измеряется или обнаруживается?

Что-то просто есть, и, насколько нам известно, у нас есть система, математика , для количественной оценки и анализа вещей.

Математика никогда не «была» чем-либо, пока она не была согласована, введена в действие и реализована, согласована и понята. Такие сложнейшие системы никогда не использовались биологическими существами до нас, например, рыбами, бактериями. Количество — это просто масса без числа, а качество — это просто совпадение без наблюдения.

Ответ на другой вопрос, который я нашел здесь, вызвал мой интерес:

почему существует понятие числа, но придумано понятие комплексного числа?

Концепция всего материального и/или нематериального существует только для того, чтобы ее можно было понять, основываясь на реальности и наблюдении за явлениями вокруг него, на том, как эти явления воспринимают его, согласуются с его пониманием и насколько хорошо эта система может точно моделировать лежащую в его основе реальность. . Для человека мяч — это то, что вы пинаете, бросаете, ловите, имеет форму, массу, объем; собаке это что-то мешает. Реальность такова, что если под лежащими в основе понятиями, которые мы пытаемся изобразить, существует реальность, только такая изобретенная система будет пытаться подражать процессу ее понимания все больше и больше.

Вопрос также касается оснований всего, что нас окружает, и его совокупности. Позвольте мне дать вам представление о том, почему я считаю математику изобретением:

Еще до того, как люди научились считать или даже существовали, всегда существовало множество различных биологических структур, масс, газов, неодушевленных объектов и коллективных существ вне единой модели, единого восприятия видимого света электромагнитного излучения, глазных яблок, мозга или самой классификации. До того, как мы эволюционировали, динозавры, если вы верите в их существование, считали и классифицировали мир вокруг себя? Вероятно, в простой, ограниченной степени, но далеко не так, как думает об этом большинство людей. Все биологические существа, прошедшие эволюцию после бактерий, приобрели восприятие, аналитический ум и способность к комплексному мышлению, чтобы стать более приспособленными к жизни вокруг них. Никто из них никогда не приближался к современному человеку.

Я сомневаюсь, что морские рыбы могут точно смоделировать многократное восприятие видимого света массами и использовать свой мозг, чтобы визуализировать это как два отдельных объекта, таким образом, манипулируя абстракцией предметов, существ или существования вокруг них. Однако мы смотрим на две вещи и соглашаемся, что это две вещи. Мы видим на полу два резиновых мяча и сразу приходим к выводу, что это два разных объекта. Но действительно ли это две вещи, или вы просто подписались на общий метод разделения объектов, основанный на правилах, разработанных человеком, образованных или ограниченных мозгом?

Суть в том, что вы видите два несвязных элемента и классифицируете/обозначаете их как два. В большинстве случаев вы не представляете себе мяч как синтетическую основу из полимеров, изопрена и других химических элементов и масс, составляющих его существование в электромагнитном излучении в атмосфере. Таким образом, вы классифицировали существование двух шаров на основе разделения экземпляров света, однако вы используете для этого только систему, которая на 100% ограничена пониманием вашего мозга.

Без системы, понимания или метода восприятия все бы существовало, но не подсчитывалось бы, не наблюдалось и не манипулировалось.

Ни то, ни другое понятно. Вы — математика, все, что вы испытываете, — математика, все, что вы думаете, что знаете, — математика. Ваш мозг — это сложная вычислительная машина, которая порождает весь ваш опыт и ваше самоощущение. Математика — это способность предсказывать будущее; это способность помнить прошлое.

Я считаю ответ слишком простым, если он просто подтверждает одну из альтернатив и отрицает другую.

Назову лишь несколько выдающихся вкладов в математику: комплексные числа, теория множеств, теория схем. Например, понятие множества придумал Кантор, раньше его не было. После того, как были изобретены основные понятия, такие как множество, мощность, мощность и т. д., была обнаружена проблема континуума, скрытая глубоко в этих понятиях.

Поэтому я сравниваю математику с такой игрой, как шахматы: изобретение новых математических понятий похоже на создание новых правил игры. Сыграть матч означает обнаружить последствия правил и решить проблемы, поставленные правилами.

Мой вывод: правила игры в математику изобретены . Затем, следуя правилам, математики обнаруживают сложные совпадения.

С точки зрения неоинтуиционистов, в той степени, в какой математика изобретена, она все еще открыта.

Мы изобрели или открыли согласную «т»? Мы обнаружили, что наши рты вполне обоснованно издают этот звук у многих представителей нашего вида. Но мы решили, что это важно, и при этом изобрели идею «т». Мы изобрели согласную, открыв факт о себе.

С этой точки зрения математика представляет собой набор идей, к которым людей естественным образом привлекают определенным образом. Но сами эти идеи являются продуктом человеческого разума, подобно тому как согласная «т» является естественным продуктом человеческого речевого аппарата. Эти идеи возникают у отдельных людей, которых можно считать их изобретателями. (Кто-то первым произнес звук t. Кто-то сначала спросил, есть ли у -1 квадратный корень или бесконечность может быть разной величины.)

Но математика выбирает те, которые ощущаются определенным образом, и изолирует те, которые в целом апеллируют к данной эмоциональной реакции. В этом смысле это ветвь психологии, изучающая человеческое мышление.

Он разрабатывает эти идеи до такой степени, что создается впечатление, что он создает вещи, но на самом деле он исследует наш общий фонд идей на предмет тех, которые кажутся чисто символическими и не заслуживающими вопросов, и видит, как их последствия сочетаются друг с другом.

Это наблюдение, я не могу вспомнить, где я слышал, поэтому был бы очень признателен, если бы кто-нибудь еще знал. Но я думаю, что это убийственная линия аргументации.

Учтите, что где-то в наборе всех рациональных чисел есть ответ на любой вопрос, который вы могли бы задать (принимая числа, например, как коды ASCII). Однако знание этого не дает вам этих ответов. Потребуется перечисление числа, а затем реляционный процесс, чтобы проверить его и подтвердить его правильность.

Таким образом, согласно этой модели, нумерация и проверочные отношения не являются магическим образом внешними по отношению к свойствам числа, но фундаментальны для него. Изобретен не обнаружен, QED.

Изобретение – это то, чего раньше не было. Открытие делается из того, что уже существовало. Поэтому была изобретена математика, поскольку ее не существовало до того, как кто-то ее создал. Например, число 1 существует только в воображении, а не в природе.

Каждый математик может только открывать математику.

Тем не менее, математика — это изобретение.

И это не противоречие.

Математика фундаментально зависит от человеческого разума, а точнее от человеческой дедуктивной логики и от человеческого восприятия реального мира, так что это своего рода изобретение вида homo sapiens, а не отдельных математиков. Человеческие математики не в состоянии изобрести ничего логического, что не вытекало бы логически из человеческой природы.

Таким образом, каждый математик может открывать только то, что уже существует, неявное в человеческой природе, а поскольку все математики, которых мы знаем, — люди, они откроют или откроют заново одни и те же вещи.

Вот почему математики приходят к выводу, что это данность, отсюда и платонистская точка зрения.

Платонистская точка зрения неверна, потому что, хотя математика дана каждому математику, она не дана человеческому роду. Оно приходит со своей собственной природой или является ее частью, так сказать. Человеческая математика не существует вне человеческого разума.

Человеческий вид сам по себе имплицитен в природе, поэтому человеческая математика имплицитна в природе, но она изложена в соответствии с человеческой логикой и человеческим восприятием реального мира. Итак, в лучшем случае платонистский мир — это сама природа. Это явно не то, что математики подразумевают под «платоником», но это единственный разумный вариант.