Какая связь между специальной и общей теорией относительности?

Предположим, мы начнем с рассмотрения преобразований Галилея , то есть преобразований между наблюдателями, движущимися с разными скоростями, причем скорости значительно ниже скорости света. Разные наблюдатели расходятся во мнениях относительно скоростей объектов, но в некоторых вещах они согласны. В частности, они договорятся о размерах объектов.

Предположим, у меня есть металлический стержень, который в моей системе координат имеет один конец в точке$(0,0,0)$а другой конец в точке$(dx,dy,dz)$. Длину этого стержня можно рассчитать по теореме Пифагора:

Теперь вы можете двигаться относительно меня, так что мы не придем к соглашению о положении и скорости стержня, но мы оба согласны о длине, потому что, ну, это кусок металла - он не меняется в размерах. только потому, что ты двигаешься относительно меня. Итак, длина стержня,$ds$, является инвариантом , т. е. с этим согласятся все наблюдатели.

Хорошо, давайте перейдем к специальной теории относительности. Что делает специальная теория относительности, так это рассматривает пространство и время вместе, поэтому расстояние между двумя точками также должно учитывать разницу во времени между точками. Таким образом, наше уравнение (1) модифицируется, чтобы включить время, и оно становится:

Обратите внимание, что наше новое уравнение для длины$ds$теперь включает время, но время имеет знак минус. Мы также умножаем время на константу с размерностью скорости, чтобы преобразовать время в длину. Как и прежде количество$ds$является инвариантом, т. е. все наблюдатели согласны с ним независимо от того, как они движутся друг относительно друга. На самом деле мы даем этой длине пространства-времени специальное имя — мы называем ее собственной длиной (или иногда собственным временем ).

К настоящему времени вы, вероятно, задаетесь вопросом, о чем я, черт возьми, бормочу, но оказывается, что мы можем вывести все странные вещи в специальной теории относительности просто из требования, что$ds$быть инвариантом. Если вам интересно, я расскажу об этом в разделе «Как вывести лоренцево сокращение из инвариантного интервала?» .

На самом деле уравнение для$ds$настолько важен в специальной теории относительности, что у него есть собственное название. Она называется метрикой Минковского . И мы можем использовать эту метрику Минковского, чтобы показать, что скорость света должна быть одинаковой для всех наблюдателей. Я делаю это в своем ответе на второй постулат специальной теории относительности .

Итак, мы пришли к тому, что тот факт, что скорость света постоянна в СТО, эквивалентен утверждению, что метрика Минковского определяет инвариантную величину. Что делает Общая теория относительности, так это обобщает метрику Минковского, уравнение (2). Предположим, мы перепишем уравнение (2) как:

где мы используем обозначение$dt=dx^0$,$dx=dx^1$,$dy=dx^2$а также$dz=dx^3$, а также$g$это матрица:

Эта матрица$g$называется метрическим тензором . В частности, матрица, которую я написал выше, является метрическим тензором для плоского пространства-времени, то есть пространства-времени Минковского .

В общей теории относительности эта матрица может иметь разные значения для своих элементов, и действительно эти элементы могут быть функциями положения, а не константами. Например, пространство-время вокруг статической незаряженной черной дыры имеет метрический тензор, называемый метрикой Шварцшильда :

(Я упоминаю об этом в основном для украшения - чтобы понять, как работать с метрикой Шварцшильда, вам нужно пройти курс по GR)

В ОТО метрика$g$связано с распределением материи и энергии и получается путем решения уравнений Эйнштейна (что не для слабонервных :-). Метрика Минковского — это решение, которое мы получаем, когда нет материи или энергии.${}^1$.

Я хочу сказать, что существует простая последовательность, которая берет начало от повседневной ньютоновской механики к общей теории относительности. Первое уравнение, которое я записал, уравнение (1), то есть теорема Пифагора, также является метрикой - это метрика для плоского трехмерного пространства. Распространение уравнения (2) на пространство-время приводит нас к специальной теории относительности, а расширение уравнения (2) до более общей формы для метрического тензора приводит нас к общей теории относительности. Итак, Специальная теория относительности — это подсистема общей теории относительности, а ньютоновская механика — подсистема специальной теории относительности.

В заключение давайте вернемся к вопросу о скорости света. Скорость света постоянна в СТО, значит, она постоянна и в ОТО? И ответ, ну, типа того. Я подробно рассматриваю это в GR. Статья Эйнштейна 1911 года: О влиянии гравитации на распространение света , но она может показаться вам немного сложной. Поэтому я просто скажу, что в ОТО скорость света всегда локально постоянна. То есть, если я измерю скорость света в своем местоположении, я всегда получу результат$c$. И если вы измерите скорость света в вашем месте, вы также получите результат$c$. Но, если я измерю скорость света в вашем месте, и наоборот, мы вообще не получим результат$c$.

${}^1$на самом деле есть много решений, когда нет ни материи, ни энергии. Это вакуумные растворы . Метрика Минковского является решением с наименьшей энергией АДМ .

Специальная теория относительности — это «частный случай» общей теории относительности, когда пространство-время является плоским. Скорость света важна для обоих.

Наилучшая связь между двумя теориями касается того, как они имеют дело с разными наблюдателями или системами отсчета. Специальная теория относительности (СТО) постулирует, что все инерциальные наблюдатели эквивалентны, тогда как общая теория относительности (ОТО) предполагает, что более широкий класс наблюдателей эквивалентен. Точнее, все невращающиеся системы отсчета эквивалентны. Таким образом, ОТО носит более общий характер, чем СТО (также известная как Ограниченная теория относительности), и поэтому не может быть действительна без СТО. Другими словами, как теории, ОТО подразумевает СТО, но обратное неверно.

Мне нравится думать о специальной теории относительности как об общей теории относительности первого порядка или «локальной».

Одной из фундаментальных вещей, лежащих в основе всей теории относительности, является принцип эквивалентности. Но это как бы «исчезает» в механике, процедурах и общей теории относительности. Это собственно и зашифровано в "выборе стройматериалов" для GR. То есть мы думаем о пространстве-времени как о многообразии , в отличие от других математических объектов, которыми мы могли бы постулировать его (например, Разнообразие — это несколько глупый пример, потому что это «почти» многообразие, но оно простое и предназначено для показать, что это еще не решенное дело, что мы должнывыбрать многообразие - есть реальная, в принципе измеримая физика, на которую влияет выбор). Многообразие — это математический объект, всюду локально евклидов, или, в случае ОТО, Минковский. Если мы «приближаемся» к многообразию при достаточно большом увеличении, мы можем максимально приблизить пространство-время к плоскому пространству-времени Минковского. Более формально это означает, что мы всегда можем определить касательное пространство к каждой точке. Вот ключ к этому ответу:

Пока мы не уходим слишком далеко от этой пространственно-временной точки и остаемся в пределах небольшой окрестности (она может быть очень маленькой в ​​сильно искривленном пространстве, но это теоретическая возможность, и наше увеличение может быть любым конечным значением), все релятивистские расчеты можно выполнить с помощью специальной теории относительности с касательным пространством, аппроксимирующим пространство-время по соседству.

Инерциальные системы отсчета в рассматриваемой точке — это те, которые мгновенно сопутствуют объектам и системам отсчета, совершающим геодезическое движение без крутящего момента в более общем искривленном общерелятивистском многообразии, и все они эквивалентны по модулю преобразования Лоренца, как и в специальной теории относительности. Кривизна — понятие второго порядка, не поддающееся определению в терминах касательного пространства только к одной точке. Первоначальная концепция принципа эквивалентности Эйнштейна заключалась в том, что в первом порядке нет разницы между экспериментальными результатами, проведенными в лаборатории, ускоренными относительно этих инерциальных систем отсчета, определяемых касательным пространством. Были ли они ускорены ракетой или ускорены потому, что лаборатория столкнулась с поверхностью планеты и, таким образом, прилипла к ней, нельзя сказать, если не смотреть за пределы лаборатории.

Существенным, определяющим моментом общей теории относительности является то, как выразился Эйнштейн в его статье « Основы общей теории относительности » (1916 г.), что:

« Все наши пространственно-временные проверки неизменно сводятся к определению пространственно-временных совпадений {... таких как...} встречи двух или более {...} материальных точек » .

Связь между специальной и общей теорией относительности заключается, следовательно, в том, что все понятия специальной теории, относящиеся к пространству-времени (включая геометрические и кинематические отношения между материальными точками) , явно определяются в терминах (определений) пространства -времени. совпадение во времени ;
а именно прежде всего понятия, фигурирующие в «постулатах специальной теории относительности» (1905 г.) :

• « системы координат, находящиеся в равномерном поступательном движении относительно друг друга »
  (т. е. в современной бескоординатной терминологии «инерциальные системы отсчета» ), и

• « скорость » (вместе с родственными понятиями «скорость», «расстояние» и «длительность»).

Может ли общая теория относительности быть верной без специальной теории относительности?

В указанном выше смысле СТО явно является частным случаем ОТО.

Речь идет об отношении между массой, пространством-временем и гравитацией[?]

Определения (как измерить) «массы» и всех более или менее связанных динамических величин (импульс, энергия, угловой момент, заряды, напряженность поля ...) основаны (и, следовательно, следуют за) геометрическое и кинематическое пространство-время проверки.

Уже есть хороший ответ Джона Ренни . Поэтому я пытаюсь ответить на вопрос по-другому, сосредоточившись главным образом на переходе от ньютоновской точки зрения к общей теории относительности.

Начнем с простого примера системы Земля-Солнце. Согласно Ньютону, Земля хочет двигаться по инерции, т. е. равномерно и прямолинейно. Гравитационная сила Солнца отклоняет его и заставляет двигаться по эллиптической орбите вокруг Солнца.

Однако, согласно ОТО, присутствие солнца нарушает (искривляет) ткань пространства и времени. Тогда Земля просто движется по инерции в этом новом возмущенном пространстве-времени. Он следует по инерционной траектории, но эта траектория была искажена так, что в конечном итоге она превращается в эллипс в пространстве вокруг Солнца, или, точнее, в спиральную траекторию, огибающую мировую линию Солнца в пространстве-времени.

Общая теория относительности представляет собой объединение следующих двух основных теоретических переходов:

1. Переход от «пространства» к «пространству-времени» . Траектории тел, находящихся в движении по инерции, являются прямыми линиями в пространстве-времени в том смысле, что они являются кривыми наибольшего собственного времени, то есть времяподобными геодезическими. Это делает их аналогами прямых линий евклидовой геометрии, которые также называются геодезическими, кривыми кратчайшего расстояния.
2. Переход от «плоской» к «изогнутой» геометрии. В контексте обычной пространственной геометрии этот переход ведет нас от евклидовой геометрии к неевклидовой геометрии. В контексте теорий пространства-времени тот же переход ведет нас от геометрии плоского пространства-времени (пространство Минковского специальной теории относительности) к геометрии искривленного пространства-времени (полуриманово пространство-время общей теории относительности). относительность). Центральная идея общей теории относительности Эйнштейна заключается в том, что искривление пространства-времени и есть то, что мы традиционно называем гравитацией.

Эти два перехода являются центральными идеями ОТО, а математика, необходимая для развития теории, есть как раз математика криволинейной геометрии, с той лишь разницей, что она переносится из пространства в пространство-время.

На следующем рисунке показаны два перехода:

Можно резюмировать следующим образом:

Общая теория относительности — это теория гравитации и набор физических и геометрических принципов, полученных из ньютоновской гравитации посредством перехода от концепции «пространства» к «пространству-времени» и перехода от плоской геометрии к искривленной геометрии, которые приводят к множеству уравнений поля, определяющих гравитационное поле, и к уравнениям геодезических, описывающим распространение света и движение частиц на фоне.