Какова была философская причина, по которой Кантор принимал бесконечное, но отвергал бесконечно малое?

Вот слова Кантора (из его влиятельного письма 1887 г. Вейерштрассу):

"Я начну с предположения о линейной величине ζ, которая настолько мала, что ее произведение на n, ζ · n для любого конечного целого числа n, сколь бы большим оно ни было, меньше единицы, а затем докажу, исходя из понятия линейной величины и с учетом помощью некоторых утверждений из теории трансфинитных чисел, что тогда ζ · ν меньше любой конечной величины, какой бы малой она ни была, где ν — произвольно большое трансфинитное порядковое число (т. е. кардинальное число или тип хорошо упорядоченного множества) из любого произвольно высокого класс номера. Но это означает, что ζ нельзя сделать конечным никаким действительно бесконечным умножением любой степени и, следовательно, конечно, не может быть элементом конечных величин. Но тогда сделанное предположение противоречит понятию линейной величины, которое таково, что всякая линейная величина должна мыслиться как составная часть других величин,".

См. современную реконструкцию аргумента и то, как он терпит неудачу для бесконечно малых величин нестандартного анализа, в Канторианском аргументе Мура против бесконечно малых величин.

Пеано в 1892 г. и Рассел в 1903 г. дали свои вариации на эту тему, но, по словам Мура,

« Ни в одном из своих воплощений аргумент не является особенно простым для понимания, и хотя между тремя версиями есть сходство, даже не ясно, являются ли они на самом деле версиями одного аргумента ».

В этом отрывке вопрос Кантора, кажется, состоит в том, что бесконечно малые, традиционно созерцаемые как «обратные» бесконечности, не могут быть «обратными» его трансфинитным числам, которые, в чтимой временем традиции, он видел как единственные «истинные числа». "бесконечности. Другими словами, нельзя произвести конечную величину из бесконечно малых величин, даже сцепленных бесконечно много раз. Как показывает Мур, это в основном потому, что порядковые числа Кантора допускают только хорошо упорядоченные конкатенации.

Трудно спорить с канторовским «понятием линейной величины», исключающим бесконечно малые, так же как и с кантовским «чистым созерцанием пространства», исключающим множественные параллели. С такими понятиями, каждому свое. С современной точки зрения Кантор смешивает мощность с мерой, но тогда современное понятие величины не принадлежит Кантору, точно так же, как современное понятие геометрии не принадлежит Канту. В то время аксиоматический метод и теория меры все еще находились в зачаточном состоянии, неархимедовы рассуждения Дюбуа-Реймона не соответствовали стандартам Вейерштрасса, а анализ Вейерштрасса не имел отношения к бесконечно малым.

Кроме того, бесконечно малые величины имели плохую репутацию среди философов, поскольку (еще до того) Аналитик Беркли объявил их « призраками ушедших величин ». Кантор не хотел, чтобы их смешивали с его трансфинитными числами, признание которых в качестве респектабельных математических объектов он отстаивал в то время. Это само по себе противоречило давней традиции: схоластическая концепция чисел, полученная от Аристотеля и поддерживаемая такими аргументами, как «аннигиляция числа», см. Как работает фактическая бесконечность (чисел или пространства)? Ирония в том, что, как пишет Добен,

« Кантор осудил такого рода аргументы... на том основании, что было бы ошибочным предполагать, что бесконечные числа должны обладать теми же арифметическими характеристиками, что и конечные числа ».

Тем не менее он предавался таким же рассуждениям, когда дело доходило до бесконечно малых величин.

Концепция бесконечно малых и бесконечно больших чисел была формализована математической областью нестандартного анализа.

Поле рациональных чисел (QQ,+,*) вкладывается в кольцо (Omega_QQ,+,*). Элементами последнего являются классы эквивалентности последовательностей рациональных чисел; две последовательности считаются эквивалентными, если их разность равна нулю для всех, кроме конечного числа элементов последовательности.

Как следствие, Omega_QQ содержит классы частных последовательностей small-omega с элементами a_n = 1/n и big-omega с элементами b_n = n. small-omega бесконечно мала , потому что она отлична от нуля и меньше любого фиксированного положительного числа. В то время как big_omega бесконечен , потому что он больше любого фиксированного положительного числа.

Кантор отвергал бесконечно малые числа, потому что произведение бесконечно малого на фиксированный конечный ненулевой элемент остается бесконечно малым. Аксиома Архимеда не выполняется в Omega_QQ. Следовательно, согласно Кантору, бесконечно малые числа не представляют длину какой-либо линии; они не являются «линейными числами». Кроме того, Кантор рассматривал умножение бесконечно малых на трансфинитный порядковый номер; но остается неясным, как Кантор думал, что это умножение работает.

Обратите внимание, что произведение small_omega * big_omega = 1. Следовательно, умножение бесконечно малого на бесконечное может дать конечное число.

Бесконечности в смысле Кантора суть мощности. Не существует кардинального эквивалента бесконечно малых величин. Если вы считаете, самая маленькая вещь, кроме нуля, равна единице.

Я не знаю собственного аргумента Кантора на этот счет, поэтому я должен пропустить ваши первые два вопроса. Но современные математики не видят между ними какой-либо связи, за некоторыми исключениями, хотя и были попытки объединить их в единый всеобъемлющий подход.

Вам нужна система с понятием деления для бесконечно малых, чтобы что-то означать, и вообще, также понятие непрерывности. Если вы не сосредоточены на непрерывности, идея о том, что деление просто взрывается на нуле, вас не смущает: вы просто считаете это функцией с дырой в области определения. Дифференциальное исчисление — это первое место, где мы беспокоимся о плавной обработке функций, рассматриваемых бесконечно близко.

Существует множество способов внедрить понятие бесконечности в действительные числа (или в любую другую систему счисления), чтобы облегчить работу дифференцирования (или внедрить его эквивалент и упростить рассуждения в предметной области), но в основном это лингвистические уловки для кодирования результат процесса (глобальное принятие ограничений) в слово с определенной грамматикой (бесконечно малая переменная), которая удерживает вас от неприятностей, противореча допущениям, лежащим в основе процесса. Волшебство, доказывающее, что эта грамматика понятна, и подсказывающее, как вывести разные ее версии для разных приложений, называется теоремой Лооса и является краеугольным камнем одного из подходов к нестандартному анализу.

Таким образом, эти два подхода к бесконечности не могут быть объяснены в терминах друг друга, не пересекаются в областях применения и возникают с очень разных точек зрения. Так что ответ на последний вопрос «определенно нет». Ни в одной системе бесконечно малых, эквивалентной, например, «исчислимому множеству», нет ни одной «бесконечности», их много. И нет обратного «непрерывно многим», есть только различные масштабы бесконечности, не связанные со счетностью или проекцией.

Подход, который пытается объединить их в более целостный и глобальный подход к бесконечности в целом, предложен Джоном Конвеем в «Сюрреальных числах», который вводит интерполяцию как основную операцию, а не выводит ее из деления и остальной арифметики. и приближается к непрерывности через бесконечное деление, а не топологически через прообразы.

Причиной Кантора была святая Библия и труды святого Августина. Оба говорят о бесконечно большом, но не о бесконечно малом. Далее Кантор отрицал уже существование атомов.

Каждое отдельное конечное кардинальное число (1, 2, 3 и т. д.) содержится в божественном интеллекте (из Св. Августина: De civitate Dei , lib. XII). (Кантор, письмо И. Джейлеру)

Господь правит в вечности и за ее пределами, начиная с Исхода 15,18. Я думаю, что это «и дальше» намекает на то, что омега — это не конец, а что-то существует за пределами» (Кантор, письмо Р. Липшицу).

Очевидно, что вера во всю совокупность всех чисел требует веры в того, кто создал эту целостность. «Кантор, вероятно, последний представитель ньютоновского отношения к религии». (Мешковски и Нильсон (редакторы): Georg Cantor Briefe , Springer, Berlin (1991), стр. 15)

РЕДАКТИРОВАТЬ: Вот еще утверждения Кантора:

Унтер Эйнем А.-У. ist dagegen ein Quantum zu verstehen, das einerseits nicht veränderlich, sondern vielmehr in allen seinen Teilen fest und bestimmt, eine richtige Konstante ist, zugleich aber andrerseits jede endliche Größe derselben Art an Größe übertrifft. Als Beispiel führe ich die Gesamtheit, den Inbegriff aller endlichen ganzen Positiven Zahlen an; Diese Menge ist ein Ding für sich und bildet, ganz abgesehen von der natürlichen Folge der dazu gehörigen Zahlen, ein in allen Teilen festes, bestimmtes Quantum, ..., das offenbar größer zu nennen ist als jede endliche Anzahl 3. Сноска 3: Man вгл. die Hiermit übereinstimmende Auffassung der ganzen Zahlenreihe als aktual-unendliches Quantum bei S. Augustin (De civitate Dei. lib. XII, cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia comprehendi. (Э. Цермело (ред.): Георг Кантор Gesammelte Abhandlungen, Springer, Берлин (1932), с. 401)

Indem nun der h. Августин die totale, интуитивное Perzeption der Menge (nu), "quodam ineffabili modo", a parte Dei behauptet, erkennt er zugleich diese Menge formaliter als ein aktual-unendliches Ganzes, als ein Transfinitum an, und wir sind gezwungen, ihm darin zu folgen . цитировать стр. 402.

Im Gegensatz zu Augustin findet sich bei Origines eine entschiedene Stellungnahme gegen das Aktual-Unendliche, daß es fast scheinen möchte, er wolle selbst die Unendlichkeit Gottes nicht behauptet wissen. цитировать стр. 403.

Dies stimmt völlig mit demjenigen überein, был S. Augustin in dem pag. 32 abgedruckten Kapitel seiner Hauptschrift De Civitate Dei, lib. XII, кап. 19, sagt: «Ita vero suis quisque numerus proprietatibus terminatur, ut nullus eorum par esse cuicumque alteri possit. Ergo et dispares inter se atque diversi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnes infiniti sunt». цитировать стр. 419.

Не правда ли, что бесконечность и бесконечно малость взаимны (точнее - две равноценные стороны одного и того же?

Это один из способов интуитивного понимания бесконечно малого и бесконечного. Его можно сделать строгим в нестандартном анализе или в сюрреалистических числах Конвея. Это очень отличается от общепринятого способа понимания бесконечно малого через пределы.

Четвертый способ понимания бесконечно малого — синтетический, как квадратный корень из нуля. Это, конечно, удивительно, поскольку обычно мы обычно говорим, что квадратный корень из нуля равен нулю. Однако теория использует интуиционистскую, а не классическую логику, и, следовательно, открывает пространство для введения бесконечно малых величин. Это, возможно, ближе всего к понятию бесконечно малых величин Ньютона. С философской точки зрения это способ строго сформулировать прозрение Гегеля (к парадоксу Зеноса) о том, что бесконечно малое есть нечто, что одновременно находится здесь и не здесь.